论直角坐标系的建立

王少奇

摘 要：在高中数学教学中会有很多问题需要建立直角坐标系，恰当建立直角坐标系，会使运算的过程简单，但建系方法是多样的，绝不是单一的，所以在教学过程中应该多听取学生的意见，课前必须多方面考虑，给学生教给灵活多样的方法。

关键词：直角坐标系；主观能动性

在平面几何问题中，常常涉及到建立直角坐标系的问题，各类资料的共同提法就是将图象集中放在坐标原点周围，若图象为轴对称图象，尽量把对称轴放在坐标轴上，若图象是中心对称的，尽量以图形的中心为坐标原点，这样有利于图形各顶点坐标的表示，可减少题中设入的变量，当然也有的提法是将图形中的顶点尽可能多的放在坐标轴上，也是为了便于表示各顶点坐标，减少设入的变量，提法有别，目标一致，所以在具体应用中应灵活恰当处理，才能达到理想的效果。

例如全日制普通高级中学教科书（必修二）第二册（下B）人民教育出版社出版的数学教材第9页例2：画水平放置的正五边形的直观图。画法如下：

（1）在已知正五边形ABCDE（图9-10）中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，过点O与y轴垂直的直线为x轴，分别B，E过作BG//y轴，HE//y轴，与x轴分别交G，H。画对应的O'x'，O'y'轴，使x'O'y'=45°。

（2）以O'点为中心，在x'轴上取G'H'=GH，分别过G'，H'，在x'轴的上方，作G'B'//y'轴，H'E'//y'轴，使G'B'=[12]GB，H'E'=[12]HE；在y'轴的点O'上方取O'A'=[12]OA，在点O'下方取O'F'=[12]OF，并且以点F'为中心，画C'D'//x'轴，且使C'D'=CD。

（3）连结A'B'，B'C'，C'D'、D'E'，E'A'，所得五边形A'B'C'D'E'就是正五边形ABCDE的直观图。

就此题而言，以上是教材中的画法，当然也可以如图（1）、图（2）建立直角坐标系，我个人认为也不失为一种好方法，也是便于操作的，学生也便于接受，在授课过程中也有的学生想到了这种方法，并且这些学生觉得自己的方法更便于作图，教师应该给予正面肯定，而不应默守陈规，只按教材讲解，让学生思维受局限，应极大程度地拓宽学生的视野，灵活地应用自己所学知识多渠道解决问题，培养学生的主观能动性。

再比如普通高中课程标准实验教科书数学②（必修）人民教育出版社出版的数学教材第105页例4：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析：首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。

证明：如图3.3-3，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为轴，建立直角坐标系，有A（0，0）。

设B（a，0），D（b，c），由平行四边形的性质得点C的坐标为（a+b，c），因为，

[|AB|2=a2]，[|CD|2=a2]，[|AD|2=a2]，[|BC|2=a2]

[|AC|2=（a+b）2+c2]，[|BD|2=（b-a）2+c2]

所以，

[|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2（a2+b2+c2）]，

[|AC|2+|BD|2=2（a2+b2+c2）]

所以，[|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2]

以上是教材建系及解析過程，当然我认为如图（3）、图（4）建立直角坐标系，并且在授课时也有学生提出这种建系的建议，对于设置变量也不复杂，我们再对比运算过程。

证明：如图（3）以AB边所在直线为轴，使D点在y轴上建立直角坐标系，设A（a，0），B（b，0），D（0，c）则有D（b-a，c）因为，

[|AB|2=（b-a）2]，[|CD|2=（b-a）2]，[|AD|2=a2+c2]，[|BC|2=a2+c2]

[|AC|2=（b-2a）2+c2]，[|BD|2=b2+c2]

所以，

[AB2+CD2+AD2+BC2=4a2+2b2-4ab+2c2，AC2+BD2=4a2+2b2-4ab+2c2]

所以，[|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2]

我们看到运算过程也是相当简单的，并且多数学生也能接受，提出这种方法的学生也有成就感，为了让学生能主动去学，提高学生主观能动性，我们做教师的何乐而不为呢？总之在平时的教学中要极力挖掘学生的潜力，尽可能多的找方法，让同一个问题得到多渠道的解决办法，给学生以发展的空间，教师能够由原来的处于中心地位的知识权威转变为学生学习的指导者和合作伙伴、设计者、教育的研究者，更多关注学生学习活动的设计和开发，培养学生良好的思维能力，培养学生积极思考的品质，学生应该被看作为待点燃的火把，学生地位应该由被动的知识容器和知识受体转变为知识的主宰、学习的主体，成为教学活动的积极参与者和知识的积极建构者。