学习电磁感应，你要掌握的是……

2017-05-05

中学生数理化(高中版.高二数学) 2017年3期

学习电磁感应，你要掌握的是……

■上海师范大学附属中学李树祥(特级教师)

电磁感应是电、磁学的核心内容,它既是对恒定电流、磁场等知识的巩固和深化,又为学习交变电流、电磁场和电磁波等知识打下了基础。因为电磁感应问题经常会与力和运动、动量和能量、电路和安培力等知识相结合,思维强度大、综合性强、能力要求高,所以成为历年来高考考查的热点和难点之一。同学们学习电磁感应,需要重点掌握的内容有以下四个模块。

一、产生感应电流的条件

1.穿过闭合回路的磁通量发生变化,闭合回路中就会产生感应电流,如果电路不闭合则将只会产生感应电动势。

2.解题关键：一是确定回路;二看电路是否闭合;三看初态磁通量大小;四看末态磁通量大小(并与初态磁通量作比较)。

3.提高解题准确性的做法：正确理解磁通量的大小与正负。(1)磁通量是指穿过某一平面的磁感线条数的多少。磁感线不一定要垂直穿过回路,所以要准确画出磁感线(特别是明确条形磁铁、蹄形磁铁、通电螺线管内外磁场的分布情况)。在匀强磁场中,磁通量等于磁感应强度B与垂直于磁场方向平面的面积S的乘积。(2)磁通量是标量,但有正负之分。磁通量的正负只反映磁通量是怎么穿过某一平面的,若规定向里穿过某一平面的磁通量为正,则向外的磁通量为负。在计算磁通量的变化量时应特别注意。(3)定义式Φ=B S中的面积S指的是垂直于匀强磁场方向的面积,如果待研究平面跟磁场方向不垂直,那么应取垂直于磁场方向的投影面积,即有效面积。(4)若穿过某一平面的磁感线既有穿出又有穿入时,则穿过该平面的合磁通量为净磁感线的条数,即净磁通。如图1所示,固定在水平桌面上的金属框架c d e f,处在竖直向下的匀强磁场中,金属棒a b搁在框架上,可无摩擦地滑动,此时a d e b构成一个边长为L的正方形。若从t =0时刻起,磁感应强度从B0开始逐渐减小,金属棒以恒定速度v向右做匀速运动时,可使金属棒中不产生感应电流,则磁感应强度应随时间怎样变化?

解析：要使电路中的感应电流为零,只需穿过闭合回路中的总磁通量不变即可,则,解得

图1

二、感应电流的方向

1.当闭合回路中的磁通量发生变化产生感应电流时,用楞次定律判断感应电流的方向。楞次定律的内容：感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量变化。当闭合回路中的一部分导体在磁场中做切割磁感线运动产生感应电流时,用右手定则判断感应电流的方向。右手定则的内容可概括为二十个字：右手放磁场,磁线穿掌心,拇指指运动,四指向电流。右手定则和楞次定律是等效的。

2.解题关键。应用楞次定律判断感应电流方向的具体步骤为：(1)查明闭合回路中引起感应电流的原磁场的方向。(2)确定原磁场磁通量的变化情况(是增大还是减小)。(3)根据楞次定律中的“阻碍”确定感应电流产生的磁场方向。阻碍磁通量变化是指当原磁通量增加时,感应电流的磁场和原磁场相反,起抵消作用;当原磁通量减少时,感应电流的磁场和原磁场方向一致,起补偿作用(简称“增反减同”)。(4)由感应电流产生的磁场方向用安培定则(右手螺旋定则)判断。

注意：右手定则仅在判断因导体切割磁感线产生感应电流的方向时使用,应用时要注意磁场方向、运动方向、感应电流方向三者是互相垂直的。当导体的运动方向与磁场方向不垂直时,拇指应指向切割磁感线的分速度方向。若形成闭合回路,则四指指向感应电流的方向;若未形成闭合回路,则四指指向高电势位置。

3.提高解题准确性的做法：(1)运用楞次定律判定感应电流的方向时,关于磁通量的变化的判定是非常重要的。对于匀强磁场,可以直接运用公式Φ=B S来判定,对于非匀强磁场,要画出磁感线,通过比较穿过闭合回路的磁场线条数的变化来判断磁通量的变化。(2)一般情况下,凡是利用右手定则能判断感应电流方向的都能用楞次定律,但有些感应电流的方向是只能用楞次定律判断而不能用右手定则判断的。因此楞次定律比右手定则更有普遍性,而在判断由回路中的部分导体切割磁感线产生的感应电流方向时,应用右手定则比较方便。(3)要注意左手定则与右手定则应用的区别,两个定则的应用可简单总结为：“因电而动”用左手,“因动而电”用右手。

图2

如图2所示,匀强磁场的方向垂直于矩形金属线框a b c d。在线框平面内有一与线框两边相切的金属圆环。现使圆环向右运动,则圆环中是否有感应电流?如果有感应电流,方向如何?

解析：本题问的是圆环中有无感应电流,进而问圆环中电流的方向。应该注意到本题中含有多个闭合电路,若我们只考虑圆环这个回路,会从圆环中磁通量没有变化而得出圆环中无感应电流这个错误结论。在圆环向右运动的过程中,M a b N e、M a b N f、M e N c d、M f N c d等回路中的磁通量都发生了变化,都可产生感应电流,作为这些回路的一部分的圆环中也应有感应电流。根据楞次定律可画出感应电流方向为N e M和N f M。

说明：我们也可以从“切割磁感线”的角度来分析。当圆环向右运动时,M f N和M e N都在切割磁感线,产生感应电动势。应用右手定则可以确定其中的感应电流的方向,也即感应电动势的方向,用电池符号代表感应电动势画在图上。这样,就不难看出,整个电路相当于两个相同的电源并联,而 M a b N和M d c N是两个并联的外电路,形成了一个完整的闭合电路,如图3所示。可见,含电源电路中有电流流过,电流方向为N e M和N f M。

图3

三、感应电动势的计算

应用公式E=B l v时注意：(1)该式适用于导体切割磁感线且B、L、v两两垂直时。(2)l为导体切割磁感线的有效长度,即导体实际长度在垂直于磁场方向上的投影,同时也是连入电路的长度。如果导体是弯曲的,则l应为导线两端连线的长度。(3)v是导体棒相对于磁场的速度。

3.提高解题准确性的做法：(1)先判断是哪部分回路的磁通量发生变化或哪部分导体切割磁感线,再选用合适的公式求解感应电动势。(2)公式适用于直接计算某时间间隔内感应电动势的平均值,与某段时间或某个过程相对应,也可间接用于计算由均匀变化磁场产生的感应电动势的瞬时值。公式E=B l v一般适用于计算导体在匀强磁场中切割磁感线而产生的感应电动势的瞬时值,E与某个时刻或某个位置相对应。若v为平均速度,则可求平均感应电动势。

图4

如图4所示,导线全部为裸导线,半径为r,两端开有小口的圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左端匀速滑到右端,电路中固定电阻的阻值为R,其余部分的电阻均忽略不计。试求导线MN在从圆环左端滑到右端的过程中：

(1)电阻R上的最大电流。

(

2)电阻R上的平均电流。

(3)通过电阻R的电荷量。

解析：(1)导线MN向右滑动时,切割磁感线的有效长度不断变化,当导线MN经过圆心时,有效切割长度最长,此时感应电动势和感应电流达到最大值,所以

(2)因为导线MN向右滑动时感应电动势和感应电流的大小不断变化,且不是简单的线性变化,所以难以应用公式E=B l v求解平均值,但是可以通过磁通量的平均变化率计算平均电动势和平均电流,即

四、综合应用

1.在电磁感应现象中,导体切割磁感线或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势,该导体或回路就相当于电源,在它们所在电路中接入电容器,便可使电容器充电,在它们所在电路中接入电阻等用电器,便可对用电器供电,在它们所在回路中形成电流,因此电磁感应现象往往会与电路问题联系起来。另外,因为感应电流要受到磁场力的作用,所以电磁感应现象往往又会与力学问题联系起来。

2.解题关键：(1)要确定电源,产生感应电动势的那部分就是电源,如果它有电阻,则相当于内阻,如果在一个电路中有几部分都产生感应电动势,则相当于几个电源串、并联;(2)要分析内、外电路结构,电源内部电流的方向从负极流向正极,即从低电势流向高电势;(3)要画出等效电路图;(4)应用闭合电路欧姆定律和部分电路欧姆定律及其他电路规律建立方程求解。如果涉及力学问题,则需在受力分析中注意判断安培力的大小和方向,解题思路和分析方法与经典力学、运动学问题基本相同,如平衡问题可用平衡条件列方程,匀变速直线运动可用牛顿运动定律结合运动学公式列方程,非匀变速运动或能量问题可用动能定理或能量守恒定律列方程。

3.提高解题准确性的做法：(1)与经典力学、运动学相结合的动态分析的思考方法是电磁感应现象中感应电动势→感应电流→通电导线受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环,循环结束时,加速度等于零,导体达到稳定状态。(2)与功、能、动量守恒的综合应用问题需要从能量转化的观点求解。比如,在闭合电路的部分导体做切割磁感线运动引起的电磁感应现象中,存在安培力做功,导体通过克服安培力做功将机械能转化为电能,导体克服安培力做功的数值总是与做功过程中转化为电能的数值相等,在无摩擦的情况下,又与减少的机械能数值相等,在纯电阻电路中,电能全部转化为电热Q热,即

(3)注意稳定状态的特点是受力平衡或者系统的加速度恒定。稳定状态时相关的物理量不会进一步发生改变,非稳定状态时相关的物理量往往都处于动态变化中,瞬时性是其最大特点。“电磁感应”和“磁场对电流的作用”是联系电、力两部分知识的桥梁和纽带,因此要紧抓这两点来建立相应的等式关系。

图5

如图5所示,在水平面内固定两根光滑的平行金属导轨,长度l= 0.2m的金属直导杆a b垂直放置在两导轨之上,导杆的质量m=0.2k g,电阻r=0.0 5Ω,接在导轨左端的定值电阻R= 0.1 5Ω,其他电阻不计,磁感应强度B=0.5T的匀强磁场与导轨平面垂直,导杆在水平向右的恒力F=0.2 N作用下,由静止开始运动。

(1)分析导杆的运动情况。

(2)导杆做匀速运动时的速度。

(3)导杆的a、b两端哪端电势较高?其电势差最大为多少?

(4)在恒力F作用下,电路中的能量转化是怎样进行的?

(5)当导杆的速度v=2m/s时,导杆的加速度多大?

(6)导杆做匀速运动后,若撤去拉力F,之后电阻R上产生的焦耳热为多少?

解析：(1)在恒力F作用下,导杆由静止开始做加速运动,当a=0,即F安=F时,导杆的速度最大,之后导杆做匀速运动,即导杆先做加速度逐渐减小的加速运动,后做匀速直线运动。

(3)导杆切割磁感线产生感应电动势,相当于电源,其a端为正极,故φa＞φb,且Uab=

(4)导杆在做加速运动的过程中,外力F做的功一部分通过克服安培力做功转化成电能(电能通过电流做功又转化成焦耳热),另一部分转化为导杆的动能。导杆在做匀速运动的过程中,外力F做的功完全转化为电能。

(5)当导杆的速度v=2 m/s时,F安'=,所以0.5m/s2。

(6)撤去拉力F,导杆做减速运动直到停止,在这一过程中,导杆通过克服安培力做功,将动能完全转化成电能,又通过电流做功完全转化成焦耳热。因此回路中产生的焦耳热,解得