基于拉格朗日法的伞-弹系统中弹体运动方程

董 严, 付小燕, 鲍泳林

(中国工程物理研究院总体工程研究所, 四川绵阳 621900)

0 引言

伞-弹系统是复杂的多体动力学系统,通过降落伞对弹体进行减速、稳定、调姿及回收等动作,广泛应用于各种空投型武器系统中。伞-弹系统动力学建模和稳定性研究分析与系统的工作性能密切相关,一直受到国内外学者的关注。1968年Wolf等首先建立了伞-物系统的3自由度和5自由度平面动力学模型并分析了降落伞的运动稳定性[1-2],Tory等在此基础上考虑降落伞与回收物间的滚转运动,建立了伞-物系统6自由度平面动力学模型[3]。此后,基于不同的伞-物模型和简化假设,Doherr等建立了三维空间内伞-物系统的9自由度动力学模型[4],Talay建立了一种伞-物系统12自由度动力学模型[5],更加接近真实情况。国内学者同样开展了大量伞-弹/物系统动力学建模计算方面的工作,金友兵等建立了一种基于降落伞-鱼雷系统的9自由度动力学模型[6],唐乾刚等建立了一种基于降落伞-末敏弹系统的9自由度动力学模型[7],师娇等采用离散时间传递矩阵法建立了伞-弹系统平面动力学模型[8],杨雪等将降落伞离散为多个质点建立了伞-物系统动力学模型[9]。总结以上研究成果发现,现有研究多是针对伞-弹/物系统中降落伞的运动方程与稳定性进行的,建立基于降落伞的运动方程,但是在某些空投武器系统的伞-弹系统工程应用中,更加关心的是弹体的运动轨迹与稳定性问题,使用以往的动力学模型,需要从降落伞的运动方程向弹体的运动方程推导,增加了运算的复杂度,且模型准确性缺乏实验验证。

为了进一步研究伞-弹系统弹体的运动方程,文中利用拉格朗日方程法建立基于弹体运动方程的伞-弹系统的动力学模型,通过算例将弹体运动轨迹和姿态数值计算结果与实验数据对比,以对计算模型进行验证。

1 伞弹系统动力学模型

1.1 拉格朗日方程法

现有的伞-弹系统动力学模型一般采用牛顿-欧拉法建立,需要根据刚体间的几何关系,消去多余的自由度约束求解,对于复杂的多体系统模型,由于刚体间互相约束复杂,计算求解难度较大,而拉格朗日方程法不需要求解约束力,只需求解微分方程,更加适用于复杂的多体系统。第二类拉格朗日方程如下:

(1)

式中:L为质点系的动能T与势能V之差;qj为系统的广义坐标;Qj为系统中的非有势广义力;f为系统自由度。通过拉格朗日方程,代入相关的广义坐标和广义力关系式,可以得到伞-弹系统的动力学方程。

1.2 基本假设

为简化伞-弹动力学计算模型,基于以下假设,建立基于弹体运动方程的伞-弹系统平面内动力学模型:

1)由于只考虑系统在平面内的运动,所以不考虑伞-弹间滚转运动的自由度;

2)忽略降落伞制造误差,认为伞衣完全充满后具有固定的轴对称形状,且认为其是刚体;

3)由于降落伞的气动力绝大部分作用在伞衣上,所以只考虑伞衣产生的气动力,忽略伞绳上产生的气动力;

4)由于伞绳质量较小,且伞衣完全充气后伞绳变形量很小,所以不考虑伞绳质量,认为其是不可拉伸的无质量杆。

1.3 运动方程

典型伞-弹系统的平面内广义坐标模型如图1所示,由降落伞、伞绳和弹体三部分组成,降落伞、伞绳和弹体之间分别通过可自由旋转的铰链连接,系统在平面内运动,具有5个自由度。(xb,yb)表示弹体质心在惯性坐标系下的广义坐标,lb为铰链点1距弹体质心的距离,ls为铰链点1、2之间的距离,lp为降落伞质心距铰链点2的距离,φb、φs、φp分别为弹体坐标系、伞绳坐标系、降落伞坐标系与惯性坐标系之间的夹角。

根据以上广义坐标模型,可得降落伞的动能Tp为:

(2)

式中:λ11为降落伞轴向附加质量;λ22为降落伞径向附加质量;λ66为降落伞附加惯性矩,采用充气半径法计算,计算公式如下[10]:

式中:ρ为空气密度;kx和kr分别为轴向和径向附加参考质量系数;R为充气半径。弹体的动能Tb为:

(6)

由于不考虑伞绳质量,所以系统的总动能为Tp+Tb。

将弹体上所受的气动阻力和升力分别沿速度方向和垂直速度方向投影,可得:

(7)

式中:Xb和Yb分别为阻力和升力,由弹体的气动参数可以得到;θb为弹体弹道倾角,其计算公式为:

(8)

同理可得降落伞所受切向力和法向力沿伞轴方向和垂直伞轴方向投影:

(9)

式中:Xp和Yp分别为切向力和法向力,由降落伞的气动参数可以得到。因此,伞-弹系统在广义坐标系下所受的广义力为:

(10)

式中,Mb为弹体受到的气动俯仰力矩。

将式(2)、式(6)、式(10)代入式(1)中,采用第二类拉格朗日方程,即可以得到关于广义坐标系[xb,yb,φp,φs,φb]形式如式(11)所示的伞-弹系统运动方程组。

(11)

式中A、B、C为系数矩阵,由拉格朗日方程求得。

2 实验验证

为验证以上基于拉格朗日方程法推导的伞-弹系统中弹体运动方程的正确性,采用某空投实验中的计算条件作为算例,实验中,降落伞为盘缝带伞,阻力特征4.1 m2,质量1.57 kg,弹体质量168 kg,通过安装在弹体内的IMU-GPS组合测试仪测量弹体空投弹道及姿态,实验状态如图2所示。

通过MATLAB内置的四阶显式单步龙格-库塔法,代入以上计算条件,对运动微分方程组进行求解,得到某伞-弹系统中弹体在降落伞完全充气后的水平位移、高度和摆角随时间的变化关系,并与实验测试数据进行比较,结果如图3～图5所示。

从以上结果对比可以看出,弹体水平和高度方向位移,模型计算结果与实验结果在弹体摆角运动状态趋于稳定后,变化规律较为一致;在初始阶段摆角变化较快,相应的降落伞所受的气动力变化较快时,实验数据显示位移变化幅度更大,与动力学模型计算结果存在一定的偏差。

弹体摆角随时间的变化关系曲线中,模型计算结果与实验结果在振荡幅值和频率上较为符合,在相位上存在一定的偏差。

以上分析结果表明,基于弹体运动方程的伞-弹动力学模型的计算结果与实验结果符合较好,可以用作计算伞-弹系统中弹体的运动状态。

3 结束语

文中为研究伞-弹系统中弹体的运动状态,解决已有动力学模型不能直接反映弹体运动状态的不足,采用拉格朗日方程法,建立了基于弹体运动方程的伞-弹系统平面内5自由度动力学模型。通过空投实验,对推导的动力学模型进行了验证,对比分析了弹体水平位移、高度位移和摆角随时间的变化关系,结果表明该动力学模型的计算结果与实验结果较为符合,可作为计算伞-弹系统中弹体运动状态的有效方法。

参考文献:

[1] WHITE F M, WOLF D F. A theory of three dimensional parachute dynamic stability [J]. Journal of Aircraft, 1968, 5(1): 86-92.

[2] WOLF D. The dynamic stability of a nonrigid parachute and payload system [J]. Journal of Aircraft, 1971, 8(8):603-609.

[3] TORY T, AYRES R. Computer model of a fully-deployed parachute [J]. Journal of Aircraft, 1977, 14(7): 675-679.

[4] DOHHER K F, SCHILLING H. Nine-degree-of-freedom simulation of rotating parachute systems [J]. Journal of Aircraft, 1992, 29(5): 774-780.

[5] TALAY T A. Parachute deployment parameter identification based on an analytical simulation of Viking BLDT AV-4: NASA-TN-D-7678 [R]. Hampton: NASA Langley Research Center, 1974.

[6] 金友兵, 邵大燮, 薛晓中, 等. 鱼雷和伞的空中运动模型 [J]. 弹道学报, 1998, 10(2): 87-92.

[7] 唐乾刚, 王立, 张青斌, 等. 伞-弹动力学及运动学在末敏弹目标识别中的应用 [J]. 兵工学报, 2007, 28(7): 796-799.

[8] 师娇, 唐胜景, 高峰, 等. 基于离散时间传递矩阵法的伞-弹系统动力学模型 [J]. 宇航学报, 2012, 33(1): 13-18.

[9] 杨雪, 余莉, 史献林, 等. 一种改进的降落伞动力学模型 [J]. 南京航空航天大学学报, 2016, 48(4): 481-485.

[10] 黄伟. 降落伞附加质量的计算方法 [J]. 航天返回与遥感, 2016, 37(2): 42-50.