乘积度量空间中满足ϕ-型压缩条件的四个映象的公共不动点定理

姜云,谷峰

(杭州师范大学数学系,浙江 杭州 310036)

乘积度量空间中满足ϕ-型压缩条件的四个映象的公共不动点定理

姜云,谷峰

(杭州师范大学数学系,浙江 杭州 310036)

在乘积度量空间中,引入了φ-弱交换映象的概念,并使用映象对相容和φ-弱交换的条件,证明了关于四个映象的几个新的公共不动点定理.本文结果拓展和改进了之前文献中一些相关结果.

乘积度量空间;压缩映象;φ-弱交换映象;相容映象;公共不动点

1 引言

自1922年Banach[1]证明了Banach压缩原理以来,不动点问题就一直成为人们研究的热点问题,许多作者在各种不同的空间中推广了Banach不动点定理.2008年,Bashirov等[2]首次引入了乘积度量空间的概念,并研究了乘积微积分等问题.最近,Ozavsar和Cevikel[3]证明了乘积度量空间中压缩映象的几个不动点定理.Abbas等[4]在乘积度量空间中证明了一些闭球中的拟弱交换映象的公共不动点定理,同时他们也研究了乘积公共边界值存在的充分条件.Kang等[5]在乘积度量空间中引入了相容映象的概念,证明了相容映象的几个公共不动点定理.2013年,He等[6]在两对映象都弱交换的条件下,证明了一个公共不动点定理.2015年, Gu和Cho[7]在乘积度量空间中研究了一类新的压缩条件,并在比文献[6]更弱的条件下,证明了几个新的公共不动点定理.本文是上述工作的继续,我们在乘积度量空间中引入了φ-弱交换映象的概念,并使用相容和φ-弱交换条件,证明了四个映象的几个新的公共不动点定理.我们的结果,改进和发展了上述的一些已知结果.

在介绍主要结果之前,先介绍一些基本概念和已知结果.

定义 1.1[2]设X是一非空集合,称映象d:X×X→R+是集合X上的一个乘积度量,如果以下条件被满足:

(1)d(x,y)≥1∀x,y∈X,d(x,y)=1⇔x=y;

(2)d(x,y)=d(y,x)∀x,y∈X;

(3)d(x,y)≤d(x,z)·d(z,y)∀x,y,z∈X(乘法三角不等式).

这时称(X,d)是一个乘积度量空间.

例1.1[3]设是所有n元正实数的集合,设定义如下:

定义 1.2[3]设(X,d)是乘积度量空间,{xn}是X中的序列,x∈X.若对任意的积性开球Bϵ(x)={y|d(x,y)＜ϵ},ϵ＞1,∃N∈N使得n≥N时有xn∈Bϵ(x).则称序列{xn}积性收敛于x，记作xn→x(n→∞).

引理 1.1[3]设(X,d)是乘积度量空间,{xn}是X中的序列,x∈X.则有

定义 1.3[3]设(X,d)是乘积度量空间,{xn}是X中的序列,x∈X.若对于∀ϵ＞1,都存在一个正整数N∈N使得当n,m≥N时,有d(xn,xm)＜ϵ成立.则称{xn}是X中的乘积Cauchy序列.

引理 1.2[3]设 (X,d)是乘积度量空间,{xn}是 X中的序列.则 {xn}是 X中的乘积Cauchy列当且仅当d(xn,xm)→1(n,m→∞).

定义 1.4[3]一个乘积度量空间 (X,d)被称为是乘积完备的,如果 (X,d)中的每个乘积Cauchy序列都在X中乘积收敛.

定义 1.5[3]设(X,dX)和(Y,dY)是两个乘积度量空间,f:X→Y是一个函数,x0∈X.如果对每个ϵ＞1,存在一个δ＞1使得f(Bδ(x0))⊂Bϵ(f(x0)),则称f在x0点乘积连续.如果f在X中每一点都乘积连续,则称f在X上乘积连续.

引理 1.3[3]设 (X,dX)和 (Y,dY)是两个乘积度量空间,f:X→Y是一个映象, x∈X.则f在x点乘积连续当且仅当对于每个序列{xn}⊂X，当xn→x(n→∞)时,总有f(xn)→f(x)(n→∞).

引理 1.4[3]设(X,d)是乘积度量空间,{xn},{yn}⊂X,x,y∈X,且

则

定义 1.6[3]设(X,d)是一个乘积度量空间,f:X→X被称为乘积压缩的,若存在一个实常数λ∈(0,1],对于所有的x,y∈X 有

定义 1.7[7]设f和g是乘积度量空间(X,d)中的两个自映象,称映象对(f,g)是可交换的,若对任意的x∈X有

定义 1.8[7]设f和g是乘积度量空间(X,d)中的两个自映象,称映象对(f,g)是弱交换的,若对任意的x∈X有

下面我们推广上述概念,我们在乘积度量空间中引入R-弱交换映象对和φ-弱交换映象对的概念如下:

定义 1.9设f和g是乘积度量空间(X,d)的两个自映象,称映象对(f,g)是R-弱交换的,如果存在正数R,使得∀x∈X,有d(fgx,gfx)≤Rd(fx,gx).

定义 1.10设f和g是乘积度量空间(X,d)中的两个自映象,称映象对(f,g)是φ-弱交换的,如果存在连续函数φ:[1,∞)→[1,∞),满足φ(1)=1,使得∀x∈X有

注1.1显然,弱交换映象必是R-弱交换映象,R-弱交换映象也必是φ-弱交换映象,但反之不真.

例1.2设X为[1,+∞),其上的乘积度量度量定义为

设fx=ax2,gx=bx2,其中a,b为正数且|b−a|＞1.设函数

则∀x∈X,有

令

则有

于是h′(x)在[1,+∞)上单调递减,从而当x=1时函数取得最大值为

这说明h(x)在[1,+∞)上单调递减,当x=1时取得最大值为

(因为 |b−a|＞ 1).即 h(x)≤ h(1),∀x∈[1,+∞),进而有从而有所以

定义 1.11[7]设f和g是乘积度量空间(X,d)的两个自映象,如果对于任何满足条件

的序列{xn}⊂X，总有=1成立,则称映象对(f,g)是相容的.

定义 1.12[7]设f和g是乘积度量空间(X,d)的两个自映象,(f,g)被称为弱相容映象,如果{x∈X|fx=gx}⊂{x∈X|fgx=gfx}.即

注1.2[7]交换映象一定是弱交换映象,弱交换映象一定是相容映象,相容映象一定是弱相容映象,但反之不一定.

为方便起见,设Φ表示所有满足下面条件的函数ϕ:[1,∞)5→[0,∞)的集合:

(1)ϕ对于每个变量是递增的和连续的;

(2)对于t≥1,有

除非另外说明，下文中均假定ϕ∈Φ.

2 主要结果

定理 2.1设(X,d)是一个完备的乘积度量空间,S,T,A和B是X上的四个自映象,满足S(X)⊂B(X),T(X)⊂A(X).假定存在使得对∀x,y∈X,有

如果下面任一条件被满足,则S,T,A和B有唯一公共不动点.

(a)A或S连续,(S,A)相容且(T,B)是φ-弱交换的;

(b)B或T连续,(T,B)相容且(S,A)是φ-弱交换的.

证明任取x0∈X,因为S(X)⊂B(X),T(X)⊂A(X),所以∃x1,x2∈X,使得

重复上述过程,得到X中的两个序列{xn}和{yn},满足

下证{yn}是X中的乘积柯西列.事实上,∀n∈N,由式(1),式(2),函数ϕ和ψ的性质,有

进而得到

进而得到

综合式(3)和式(4),对任意的n∈N,有

因此对于所有的n,m∈N,n＜m,利用乘积三角不等式得到:

对上式取极限得d(yn,ym)→1(n,m→∞),所以{yn}是X中的乘积柯西列.由X的完备性可知,存在z∈X使得yn→z(n→∞).由于

都是{yn}的子列,故

接下来证明z是S,T,A和B的公共不动点.

首先假设条件(a)成立,这时考虑以下两种情况:

情况1先设A连续,则由于(S,A)是相容映象,故有

令n→∞,利用式(5)以及函数ϕ和ψ的性质,可得

因为λ＜1,所以d(Az,z)=1,即Az=z.再次应用式(1)和式(2),得,

在上式中令n→∞,并利用Az=z,式(5)以及函数ϕ和ψ的性质,可得,

于是d(Sz,z)=1,即Sz=z.

因为z=Sz∈SX⊂BX,存在z∗∈X,有z=Sz=Bz∗,进而有z=Sz=Az=Bz∗.利用式(1)以及函数ϕ和ψ的性质,得

所以d(z,Tz∗)=1,因此Tz∗=z=Bz∗.又因为(T,B)是φ-弱交换的,有

于是Bz=Tz.现在证明Tz=z,由式(1)以及函数ϕ和ψ的性质,有

所以d(z,Tz)=1，即z=Tz.因此,得到了z=Sz=Az=Tz=Bz,即z是S,T,A和B的一个公共不动点.

情况2再设S是连续的,则=Sz.由(5)以及(S,A)的相容性,有

令n→∞,利用式(5)以及函数ϕ和ψ的性质,可得

所以d(Sz,z)=1,因此Sz=z.同时又因为z=Sz∈SX⊂BX,存在z∗∈X,有

利用式(1)以及函数ϕ和ψ的性质,得

令n→∞,利用z=Sz=Bz∗,由式(5)以及函数ϕ和ψ的性质,可得

所以d(z,Tz∗)=1,因此Tz∗=z=Bz∗.又因为(T,B)是φ-弱交换的,有

所以Bz=Tz.再次使用式(1)以及函数ϕ和ψ的性质,有

令n→∞,利用Bz=Tz,由(5)以及函数ϕ和ψ的性质,可得

所以 d(z,Tz)=1,因此 z=Tz=Bz.又因为 z=Tz∈TX ⊂AX,存在 z∗∗∈X,有z=Tz=Az∗∗.利用Tz=Bz=z,式(1)以及函数ϕ和ψ的性质,得

所以d(Sz∗∗,z)=1,因此Sz∗∗=z=Az∗∗.又因为(S,A)是相容的,所以

所以Sz=Az，因此

即z是S,T,A和B的一个公共不动点.

接下来证明S,T,A和B有惟一的公共不动点.假设ω∈X也是S,T,A和B的公共不动点,则

所以d(z,ω)=1,因此z=ω,所以z是S,T,A和B的唯一公共不动点.

类似可证,当条件(b)成立时,S,T,A和B的有唯一公共不动点.

注2.1由于φ-弱交换映象对包含R-弱交换映象对和弱交换映象对为特例,所以定理2.1本质地改进了Gu和Cho[7]的相关结果.

推论 2.1设(X,d)是一个完备的乘积度量空间,S,T,A和B是X上的四个自映象,满足S(X)⊂B(X),T(X)⊂A(X),假定存在使得

对于∀x,y∈X成立.如果下面任一条件成立,则S,T,A和B有唯一公共不动点.

(a)A或者S是连续的,(S,A)相容且(T,B)是R-弱交换的;

(b)B或者T是连续的,(T,B)相容且(S,A)是R-弱交换的.

推论 2.2设(X,d)是一个完备的乘积度量空间,S,T,A和B是X上的四个自映象,满足S(X)⊂B(X),T(X)⊂A(X),假定存在使得

对于∀x,y∈X成立.如果下面任一条件被满足,则S,T,A和B有唯一公共不动点.

(a)A或者S是连续的,(S,A)相容且(T,B)是弱交换的;

(b)B或者T是连续的,(T,B)相容且(S,A)是弱交换的.

定理 2.2设(X,d)是一个完备的乘积度量空间,S,T,A和B是X上的四个自映象,满足S(X)⊂B(X),T(X)⊂A(X),假定存在使得

对于所有的x,y∈X成立.如果下面任一条件被满足,则S,T,A和B有唯一公共不动点.

(a)S,T,A和B之一是连续的;

(b)映象对(S,A)和(T,B)都是可交换映象.

证明因为S(X)⊂B(X),T(X)⊂A(X)有

因为映象对(S,A)和(T,B)都是可交换映象,所以

由注1.2可知(Sp,A)和(Tq,B)是相容的也是φ-弱交换的,因此由定理2.1知Sp,Tq,A和B有唯一公共不动点z,即Spz=Tqz=Az=Bz.下面,证明S,T,A和B有唯一公共不动点.事实上,由式(6)有

所以d(Sz,z)=1,因此Sz=z.另一方面,有

同样d(z,Tz)=1,因此Tz=z.因此,得到Sz=Tz=Bz=Az=z,因此z是S,T,A和B的一个公共不动点.最后,证明S,T,A和B有唯一公共不动点.假定w∈X也是S,T,A和B的一个公共不动点,则有

有d(z,w)=1,因此z=w,因此z是S,T,A和B的唯一公共不动点.

[1]Banach S.Sur les oprations dans les ensembles abstraits et leur application auxquations ingrales[J]. Fundam.Math.,1922,3:138-181.

[2]Bashirov A E,Kurplnara E M,Ozyaplcl A.Multiplicative calculus and its applications[J].J.Math.Anal. Appl.,2008,337:36-48.

[3]Ozavsar M,Cevikel A C.Fixed point of multiplicative contraction mappings on multiplicative metric spaces[J].Applied Mathematics,2012,3:35-39.

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[5]Kang S M,Kumar P,Kumar S,et al.Common fixed points for compatible mappings and its variants in multiplicative metric spaces[J].Int.J.Pure Appl.Math.,2015,102(2):383-406.

[6]He X,Song M,Chen D.Common fixed points for weak commutative mappings on a multiplicative metric space[J].Fixed Point Theory Appl.,2013,4:40-48.

[7]Gu F,Cho Y J.Common fixed points results for four maps satisfying ϕ-contractive condition in multiplicative metric spaces[J].Fixed Point Theory Appl.,2015,3:160-165.

Common fixed points theorems for four maps satisfying ϕ-type contractive condition in multiplicative metric spaces

Jiang Yun,Gu Feng
(Department of Mathematics,Hangzhou Normal University,Hangzhou 310036,China)

In the framework of a multiplicative metric spaces,we introduce concept of φ-weakly commuting mappings,we prove some new fixed point theorem for four mappings using compatible mappings and φ-weakly commuting mappings.The results obtained in this paper extend and improve some well-known comparable results in the literature.

multiplicative metric space,contractive mappings,φ-weakly commuting mappings, compatible mappings,common fixed point

O177

A

1008-5513(2017)02-0185-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.010

2016-12-01.

国家自然科学基金(11071169);浙江省自然科学基金(Y6110287).

姜云(1992-),硕士生,研究方向:应用非线性分析.

谷峰(1960-),教授,研究方向:应用非线性分析.

2000 MSC:47H10,54H25,55M20