巧用多普勒效应妙解物理复赛题

2017-04-27林德铝

中学物理·高中 2017年3期

【摘要】多普勒效应是一种计算一维运动中的频移问题的好方法，在32届复赛题中如果利用小量近似，然后利用多普勒效应，可以很简单的将问题解决。

【关键字】多普勒效应一维小量近似

多普勒效应是在一维运动中计算频移的强有力方法，推导过程并不复杂。下面进行简单的推导，设声音的速度为，频率为，周期为T，声源朝观察者的速度为，传播距离改变时，则，则观察者接收到相连两波峰的时间差为，所以观察者接收的频率为。同理，当声源不动，观察者向声源以速度靠近时，一个周期靠近的距离，则，则观察者接收到相连两波峰的时间差为，所以观察者接到的频率。

下面我们以第32届赛题的第四题为例来进行说明：如图，飞机在距水平地面（xz平面）等高的航线KA（沿x正方向）上，以大小为（远小于真空中的光速）的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P点（其x坐标为）发射扇形无线电波束（扇形的角平分线与航线垂直），波束平面与水平地面交于线段BC（BC随着飞机移动，且在测量时应覆盖被测目标P点），取K点在地面的正投影O为坐标原点。已知BC与航线KA的距离为。天线发出的无线电波束是周期性的等幅高频脉冲余弦波，其频率为。若已知机载雷达天线经过A点（其x坐标为）及此后朝P点相继发出无线电波信号，由P反射后又被机载雷达天线接收到，求接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差（频移）。

下面我将参考答案提供的参考系解法与我所用的多普勒解法，看能否达到事半功倍的效果，首先我们来看参考系解法。

析解：按照题给坐标系，设待测点P的位置为（xp，0，a），飞机在t=0时所在点K的位置为（0，h，0）。在时刻t1，飞机所在位置A点的坐标为（x1=xA，h，0），机载雷达此時发出一光信号；该信号到达P点，经反射后，于时刻t2，返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达的位置为（x2=xa，h，0），如图所示。由于光速不变，飞机做匀速直线运动，有

①

②

式中。现设在时刻，飞机所在位置A点的坐标为，机载雷达此时发出另一光信号；该信号到达P点，经反射后，于时刻返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达的位置为。同理有

但是笔者认为这个问题根本没有必要利用这么复杂的推理，可以用降维思想，利用一维多普勒效应简单的进行求解，分析如下

将该立体图中的有效成份转化为平面，如图所示：

由于v<

∴

其中

解得： =

由于v<

值得思考的是，若用相对论中的多普勒公式如何？

结果竟然与经典理论中的不约而同，可谓妙不可言。这说明用电磁波的频率改变在v<