线性代数教学中的应用意识培养

摘 要： 线性代数在自然科学、社会科学、工程技术等领域发挥着愈来愈重要的作用。一直以来线性代数教学大多以传授基本理论知识为主，教学中理论联系实际相对薄弱。本文结合实例，论述了在线性代数课程教学中渗透应用意识、培养创新能力的方法。

关键词： 线性代数；应用意识；教学实例

中图分类号： O15；G642.4 文献标识码： A 文章编号： 2095-8153（2016）06-0077-04

美国著名教材《线性代数及其应用》作者David Lay说：“线性代数就是一门语言”[1]。“如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此”[2]。线性代数是高校理工类、经管类等专业必修的一门重要基础数学课程，在自然科学，社会科学、工程技术等领域发挥着愈来愈重要的作用。

一、线性代数教材和应用性教学

线性代数课程多年来教学内容以传授严格的理论知识为主，理论联系实际相对薄弱。现在各类高校广泛使用同济大学的《线性代数》（第五版）[3]，该教材结构严谨、逻辑清晰、叙述详细。唯显不足的是限于教学时数（40左右）和篇幅，虽然所选用的例题、习题十分典型，但涉及应用性的例题、习题屈指可数。国内其他教材大致如此，本校自编教材也是如此[4]。David Lay编写的《线性代数及其应用》在讲授基础理论的同时突出了应用（正如书名），全书各类应用性例题共51个，练习题196个，说明了线性代数可以用于工程技术、计算机、数学、物理、生物、经济和统计等学科，应用性特色非常鲜明，表明了课程非常重视理论应用，而且突出了应用的价值。

二、明确指导思想，树立应用意识

在科学技术、经济管理等领域，我们不仅要研究两个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系。各种实际问题中多变量关系在一定的条件下可以转化为线性关系，线性代数正是解决线性问题的强有力手段，是解决相关实际问题的重要数学模型（或工具），另外学习线性代数对学生数学思维的训练、数学方法的掌握和数学应用能力的提升都有重要的意义。因此，线性代数不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种科技素养。

我们在教学中，应当明确教学指导思想，不仅教学生基础理论，更要引导学生把学到的理论知识进行应用，解决各类相关具体问题。但是由于教学时数的限制，课堂上不可能有大量的时间来解决各种应用问题，因此必须做好教学总体设计，依据讲授的内容，适当介绍一些典型问题及解决的思路和方法，通过课后习题和课外活动，把课堂所学理论拓展到教学实践中，深化理论学习的成果。

三、注重教学设计，落实教学要求

1. 联系线性代数的实际背景

很多数学概念的产生其实都有深厚的实际背景，这些内容在教材中很少体现出来。在引入新的概念时适当地为学生提供一些线性代数概念和方法产生的实际背景，不仅对概念的理解有帮助，而且对激发学生的学习兴趣也有很大的促进作用，对掌握相关内容也有很大的帮助。如矩阵的概念，矩阵的本质就是一个数表，那么有数表的地方就有矩阵，矩阵的广泛应用自然就彰显出来了。如果把矩阵看作向量组，线性方程组求解、向量的线性相关性、向量空间等知识就相互联系起来了，应用的前景自然显现出来。对于非零向量x，若满足Ax=？姿x，则矩阵对向量的运算（变换）就简化为某个数与向量的乘积（向量的伸缩），特征值的作用就十分重要了。如此这般，不一一列举。

2. 引入实际应用案例

教学过程中要善于把数学的思想和观念结合具体实例的分析，渗透应用意识，分析和解决一些实际问题，提高学生学习的兴趣，提高数学能力和素养。

结合矩阵的乘法运算和矩阵的逆运算，介绍信息传输加密、解密的实例；结合线性方程组的求解的案例更多，如石油勘探中勘探设备获得的大量数据所满足成百上千个方程的线性方程组的求解；在国民经济中为了预测经济形势，利用投入產出经济数学模型，也往往归结为求解一个线性方程组；餐饮业中配制营养套餐或减肥食谱也需要解线性方程组；天气和气象预报，根据诸多因素最后归结为一个线性方程组的求解；在卫星遥感图像处理中，卫星利用三种可见光和四种红外光进行观测，可以获得每一个区域七张遥感图像，由于每一个像素对应七个数据，就形成一个多元的向量组，在其中合成并求取主因素的问题，就与特征值问题有关。当然，比较复杂的线性问题的求解都需要借助计算机软件来实现。

案例1 方阵乘幂的应用

某城镇有10万人具有法定的工作年龄，目前有8万人找到了工作，2万人失业。每年有工作的人中10%将失去工作而失业人中的60%将找到工作，假定该镇的工作适龄人口在若干年内保持不变，问3年后该镇工作适龄人口中有多少人失业？

xn，yn分别表示该镇n年后就业和失业人口数，得到如下的方程组

xn+1=0.9xn+0.6yn，yn+1=0.1xn+0.4yn令xn+1yn+1=■xnxn，

记A=■，则x3y3=Ax2y2=A2x1y1=A3x0y0

其中x0x0=8000020000。A3=■3=■，故

x3y3=■8000020000=8556014440

即3年后失业人口为14 440人。

应用这一模型，结合矩阵的相似对角化，还可以进一步模拟多年后就业人口、失业人口的变化规律和趋势。

案例2 矩阵在信息加密中的应用[5]

保密通信是当今信息时代一个非常重要的课题，基于矩阵运算加密技术是保密通信模型中最为基本而且最具活力的一种。在讲授“逆矩阵”相关知识时，可以设立一个课外研究专题——可逆矩阵及其应用。结合这一专题不仅可以用来说明“逆矩阵”应用的一般思路，而且让学生可以大显身手，从而激励学生进行研究性学习，激发创新意识，这样做的教学效果也很好。

可逆方阵可用来对传输的信息加密。首先给每一个英语字母指派—个码字，即将26个英文字母和空格分别用1至26和0一一对应（当然也可以用其他方式赋值）。即

例如，为了传送信息Go northeast，把对应字母的码字排列成一个的矩阵（按列次序）

A=■

如果不加密直接发送明文矩阵A，信息容易被破译，极不安全，因此必须加密。通常的做法是设置密钥，只有接收者获得密钥才能准确、快速解密。加密的方式是多种多样的，必须事先约定。

若加密是用矩阵B=■，则密钥B-1=■用于解密。

利用B加密A后，则明文A变成了密文C。即

C=BA=■■=■

接收者收到密文C后则要利用B-1对C进行解密，可得

A=B-1C=■■=■

即Go northeast。

加密后实质是方程BA=C中已知C，B求矩阵A，如果B-1存在，用逆矩阵可解矩阵方程。当然，逆矩阵的应用远不止如此，例如还可结合矩阵相似对角化的方法处理矩阵多项式的计算，等。

案例3 线性方程组的求解

很多大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律。身体的健康需要注意日常饮食中的营养，大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物。下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。

根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。

这是一个简单的非齐次线性方程组问题。设x1，x2，x3分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列线性方程组

36x1+51x2+13x3=337x2+1.1x3=352x1+34x2+74x3=45

写成矩阵方程形式Ax=b，即■x1x2x3 =33 345

利用初等变换可以很快得到问题的解。

这里直接利用Matlab求解：

A=[36，51，13；0，7，1.1；52，34，74]

b=[33；3；45]

x=A＼b

可得x=

0.27722318361443

0.39192086163701

0.23323088049177

3. 设计应用性例题的主要特征

应用性例题设置要比较新颖、富有启发性；要多层次、有广泛代表性；要典型示范便于推广应用；要结合学生所学专业特色，体现现代科技的发展和新的应用领域；要避免过于陈旧、过于单一，难度不宜过高，否则难以激发学生的研究、学习兴趣。

四、数学建模和数学软件的辅助作用

借助计算机高速超强的计算能力，人们看到了矩阵模型这一强有力的工具，极大推动了大型工程、经济和管理等问题的解决。因此对理工科学生而言，数学课不仅应该让他们宏观地了解数学的思想方法，还要明白作为未来工程师和管理人员，还要了解工程中可能遇到各种各样的数学问题，并且知道应该用什么样的数学理论和工具（包括数学软件）去解决，把相关实际问题提炼为线性代数的核心问题（数学建模），这是一种高水平的抽象[5]。

线性问题非常便于计算机处理，把数学软件Matlab引入到线性代数教学中，就可以把大量相关的应用性问题放到学生的课外实践活动中，不仅是对理论教学的补充和延伸，而且对培养学生的数学建模能力、应用数学解决问题的能力和创新能力都能起到十分显著的作用。

[参考文献]

[1]David Lay.线性代数及其应用[M].沈复兴，等译.北京：人民邮电出版社，2007.

[2]Lars Garding（戈丁）.數学概观[M].胡作玄译.北京：科学出版社，2001年P.75.

[3]同济大学.线性代数：第五版[M].北京：高等教育出版社，2012.

[4]李克娥，等.线性代数[M].华中科技大学出版社，2012.

[5]熊小兵.可逆矩阵在保密通信中的应用[J].大学数学，2007，23（3）：108-111.

[6]潘大勇，等.数学文化赏析[M].北京：科学出版社，2016：184.

Abstract： Linear algebra plays a more and more important role in the fields of natural science，social science and engineering technology. Linear algebra teaching has been mostly based on the theoretical knowledge teaching，and the relationship between theory and practice is relatively weak in actual teaching. The methods of permeating application consciousness and training innovation ability have been discussed through some examples in this paper.

Key words： linear algebra；application consciousness；teaching case