软式非线性同步振动沉桩系统的动力学分析*

2017-04-27邱燕超张学良闻邦椿

振动、测试与诊断 2017年2期

关键词：幅频特性软式激振力

张楠，邱燕超，张学良，闻邦椿

(1.北京建筑大学城市轨道交通车辆服役性能保障北京市重点实验室北京，102616) (2.东北大学机械工程与自动化学院沈阳，110819)

软式非线性同步振动沉桩系统的动力学分析*

张楠1，邱燕超1，张学良2，闻邦椿2

(1.北京建筑大学城市轨道交通车辆服役性能保障北京市重点实验室北京，102616) (2.东北大学机械工程与自动化学院沈阳，110819)

对软式非线性同步振动沉桩系统进行动力学特性研究。首先，建立同步振动沉桩系统的软式非线性振动模型，采用一次近似解的幅频特性方程判定系统周期解稳定性问题；然后，利用选取的参数分析系统幅频特性关系，并且根据幅频特性曲线确定系统多解处的稳定解问题，以及讨论沉桩系统参数(激振频率、土的刚度和阻尼、激振器的偏心距等)对系统动力学特性的影响；最后，基于Matlab/Simulink采用四阶龙格-库塔法运算程序进行数值仿真确定系统周期解稳定性。通过理论和仿真系统地分析了系统周期解的稳定性特性，以及系统各参数对系统周期解的影响。

非线性振动；幅频特性；稳定性；同步振动沉桩系统

引言

同步振动沉桩系统是通过两激振电机回转，进行振动沉桩的。在振动沉桩系统沉桩过程中，激振电机上的偏心转子反向回转，只产生竖直方向的激振力来达到沉桩的目的。由双激振电机偏心转子反向回转所组成的振动沉桩系统称为自同步振动沉桩系统。当非线性自同步振动沉桩系统的激振电机的激振频率与系统的一阶固有频率接近一致时，其激振电机的激振频率被系统的一阶固有频率所俘获，此时称为系统发生频率俘获现象[1-2]。系统在频率俘获情况下，系统的沉桩振幅最大、沉桩速度快、沉桩效率高。

自同步振动系统中存在各种形式的非线性因素，而自同步振动系统中非线性因素将对系统的动力学行为产生重要的影响[3-5]。关于自同步振动系统，国内外许多学者从线性或拟线性化角度把系统简化为理想系统进行动力学特性分析[6-9]，有少数学者也考虑到系统模型的非线性特性[10]。另外许多同步振动系统是在远超共振状态下进行相关研究[11-15]，这些研究并没系统研究系统周期解的稳定性。系统解的稳定性是同步振动系统重要的特性，因此，需深入研究同步振动系统的非线性动力学行为及其周期解稳定性。

1 建立模型

在同步振动沉桩系统工作过程中，桩土相互作用非常复杂，根据土壤应力-应变关系，把桩土之间相互作用采用软式非线性弹性力来表示土壤的非线性特性，软式非线性弹性力可表示为k(y)=ky-εk′y3，式中k为土壤线性弹性刚度，y为桩的位移，ky为线性弹性力，ε为非线性系数(为小的整数)，εk′y3为非线性弹性力，通常要比ky小。当同步振动沉桩系统的激振力由电动机驱动时，双激振电机反向回转，振动沉桩系统在竖直方向工作，其振动沉桩系统非线性动力学模型如图1所示。图中，Oxy为非线性振动系统坐标系，O为振动沉桩中心(同时为两激振电机回转轴心连线的中点)，O1，O2为两激振器回转轴心。

图1 非线性动力学模型Fig.1 Nonlinear dynamic model

采用拉格朗日方程得到桩-土耦合动力学模型如下

(1)

2 模型解析

其中所有的ε系数相等，得

(5)

将通解代入式(5)第二个式子中得到

(6)

需要去掉长期项的条件是

(7)

(8)

式(8)中所有实部和虚部相等，可以得

(9)

式(9)中第1个式子乘以sinβ与第2个式子乘以cosβ然后相加，或者式(9)中第1个式子乘以cosβ与第2个式子乘以sinβ然后相减，最终整理得到下面两个式子，即

(10)

将式(10)变换为一个自治系统(即不显含T1的系统)，设，γ′=σ-β′，β′=σ-γ′，则式(10)变为

(11)

由于系统在稳定状态时，其α′=β′=0，因此式(11)变为

(12)

式(12)中的两个式子平方后相加得

(13)

式(13)整理得

(14)

因此，振动沉桩系统频率俘获情况下的一次近似解为

(15)

(16)

其中参数由式(14)确定。

3 系统解的稳定性

如果确定式(13)中的α和γ，就可以确定原系统的一个周期解即式(16)。因此分析α和γ的稳定性问题，就能确定系统解的稳定性问题。于是，可以把式(11)进行变换求解，设

(17)

式(11)整理得到

(18)

式(18)第1式乘以cosγ与第2式乘以sinγ相减得

(19)

同理，式(18)第1式乘以sinγ与第2式乘以cosγ相加得

(20)

式(19)和(20)整理得到新的方程为

(21)

4 幅频特性分析

图2 幅频特性Fig.2 Amplitude-frequency characteristic

系统参数变化导致幅频特性变化如图3所示。由图显示，整个系统的其他参数不变，仅改变土壤的非线性系数ε，随着ε变小，振幅显著增加，且软式非线性系统就越接近线性振动系统，如果系统不考虑非线性因素时，即ε=0，则曲线变为线性系统幅频特性曲线。当增大土壤线性弹性系数k，幅频特性曲线向右移动，由于激振频率产生激振力，激振频率不断变化，激振力也是变化的，因此幅频特性曲线弯曲程度有些变大。当减小土壤阻尼系数c或者增加激振力上的偏心距(偏向转子的半径r0与质量m0的乘积)，比如增加偏心块半径时，同步振动沉桩系统的振幅峰值增大，曲线弯曲程度变大。

图3 参数变化对振幅的影响Fig.3 Influence of parameter variation on amplitude

5 系统解的稳定性计算与仿真

式(21)的雅可比矩阵的特征方程为

图4 αt=0=0 m,γt=0=0 rad时相平面图和轨迹图Fig.4 Phase plane and waveform in αt=0=0 m and γt=0=0 rad

图5 αt=0=0.6 m,γt=0=3.14 rad时相平面图和轨迹图Fig.5 Phase plane and waveform in αt=0=0.6 m,γt=0=3.14 rad

6 结论

1) 理论推导系统在频率俘获情况下一次近似解，以及理论上讨论周期解的稳定性判据问题，也利用幅频特性方程和稳定解相平面图来实际分析系统解的稳定性问题，且理论和计算仿真分析相一致。

2) 同步振动沉桩系统的激振频率在一定范围时，系统将出现多个定常解，两个是稳定的，而另一个是不稳定的。系统最终稳定在那个稳定点取决于系统的初始条件，而出现跳跃现象的地方，都是自发跳跃到稳定点位置而与初始条件无关。选择合适的初始位移，以便获得大的沉桩振幅。

3) 在保证系统发生频率俘获的前提下，适当改变系统参数，可以提高系统的最大振幅的平稳性。表明土壤阻尼小、土壤的刚度大或者增加激振力，可增大振幅并提高系统的沉桩速度。

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