基于二次函数图像的若干问题探究

何东泉

摘 要：二次函数自身具有较强的图形属性，函数图像性质清晰，因此可以作为一种图形工具，用以求解一些其他章节以及考点中的题目。本文将基于数形结合的思想，浅析二次函数图像如何用于求解一元二次方程、一元二次不等式以及恒成立问题。

关键词：二次函数 数形结合 函数图像

引言

从自身来看，二次函数属于高中数学的一个基础板块和常见考点，主要考题包括解析式的确立、值域范围的求解、导数的应用、图像平移[1]等。

除了单独作为高中数学的考点外，二次函数还能够延伸到其他的问题之中，在不等式、方程等章节中应用频繁。数形结合[2]的思想指的是：“数”和“形”往往是分不开的，有时抽象的代数问题可能会具有直观、易懂的几何含义，此时借用简单的图像去求解数量上的关系，能够达到事半功倍的效果。二次函数的图像是抛物线，具有一些特殊的、明晰的几何性质，因此也可以用二次函数图像的“形”求解一些复杂的代数问题，比如一元二次方程根的求解、恒成立问题等。本文将主要结合数形结合的思想，分析如何使用二次函数的图像性质求解一些常见的相关题目。

一、二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次方程与不等式的解法

在求解一元二次方程和一元二次不等式的相关问题时，可以借助二次函数的图像进行求解：一元二次方程的根其实就是二次函数的图像和e轴的交点；一元二次不等式的求解则可以根据二次函数图像的递增、递减的性质，得出题目所要求的满足条件的未知数集合。由此，二次函数与这两种题型建立了联系，是重要的解题工具。

在解这类问题时，考生必須要根据数形结合的思想，建立起三者之间的联系，既要充分利用图像的性质，也要灵活变通或进行转换，具体来看可以使用一道基础的题型来说明这类问题的解法，例题：求满足不等式x2-5x+2<26的解的集合。解题步骤如下所示。

2.一元二次方程求根问题的拓展

首先给出一道相关的例题：已知关于x的方程x2+mx-4=x有两个根，分别记做x1与x2，如果x1与x2的绝对值均大于1，求参数m的取值范围。

一般情况下，处理这些题目的基础步骤是先要根据二次函数的解析式在直角坐标系中描绘出相应的函数图像：二次函数常用的表示方法是y=ax2+bx+c且a不为0，根据a的正负可以确定图像的开口方向，由“左同右异”的口诀可以根据a和b确定图像对称轴的位置，常数项系数c的符号可以给出图像与y轴交点的位置，汇总来看，需要确定二次函数的对称轴、顶点坐标、递增区间与递减区间、与坐标轴（x轴、y轴）交点的情况。在此基础之上，很多代数难题就变得更加直观、易懂，能够利用图形属性得以迎刃而解。

在上述例题中，解题步骤如下所示。

3.二次函数与恒成立问题

二次函数的图像与不等式、方程之间的关系可以拓展出许多课题，恒成立问题便是典型的代表。恒成立问题[3]指的是：不等式或等式无论变量取何值时都能够成立，在此条件下求解参数的取值范围。

二次函数在恒成立题目中的应用主要有两类题型，一类是在全部实数域上的恒成立，此时做法比较简单，若ax2+bx+c大于0恒成立，则根据图像性质可知，抛物线开口向上且与横轴无交点，即a大于0且判别式b2-4ac小于0；另一类问题是在某一区间内的恒成立，此类题目就要具体问题具体分析，更加需要在“数”与“形”之间进行转换，也更能检验学生灵活运用数学工具的能力和理解数学涵义的深入程度。这类问题虽难，但是本质上依然是建立起不等式与函数图像之间的关联，比如当m≤x≤n时x2+bx+c大于0恒成立，可由此可以绘制如下三种情况的图像，则对应的三个条件分别是：①-b/20，②m≤-b/2≤n且b2-4c<0，③-b/2>n且f（n）>0，三个条件解集的并集即为最终答案。

结语

根据近年来的高考经验，将二次函数作为解题工具的考题越来越多，且题型多变、综合性强，这就要求教师在平时要注重培养学生们观察与分析的能力，学生们也要融会贯通，深入理解二次函数图像与这类题目的内在联系，难题便可迎刃而解。

参考文献

[1]黄兴丰， 汤炳兴， 龚玲梅，等. 经验教师数学课堂教学策略的个案研究——以九年级“二次函数图像平移”的教学为例[J]. 数学教育学报， 2012（1）：44-49.

[2]刘希栋. 数形结合“惑”然开朗——对一个困惑“补救措施”的剖析[J]. 数学通报， 2016， 55（8）：52-54.

[3]章荣学. 含参不等式恒成立问题的解法[J]. 读写算：教师版， 2015（1）：88-89.