一个算术函数与最大素因子函数的β次混合均值

张利霞，赵西卿

( 延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000 )

一个算术函数与最大素因子函数的β次混合均值

张利霞，赵西卿

( 延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000 )

Smarandache可乘函数； 因子积数列； 最大素因子函数； 均值； 渐近公式

关于对上述函数的有关均值的研究, 近年来取得了许多有意义的结果,详见文献[3-10].刘卓[8]等研究了S(n)与P(n) 之差的β次方的值分布问题,给出了当x≥3,β>1时的渐近公式

笔者在文献[9]中研究了SL(n)和P(n)的均方差的均值分布问题,给出了渐近公式

郭晓艳[10]研究了一个算术函数与最大素因子函数的均值分布问题,给出了渐近公式

并且建议构造并研究类似的均值问题.笔者在上述文献的启示下,研究了Smarandache可乘函数与 最大素因子函数的均值分布问题,并给出了较强的渐进公式.

定理1 设k≥1为给定的正整数, 对于任意的实数x>1, 有渐近公式

其中，ci为可计算的常数.

1 相关引理

引理1 设n为正整数, 则

2 结果证明

故可得

(1)

结合引理3估计式与引理1中的3), 式(1)可写为

(2)

其中,ci(i=1,2,…,k)是可计算的常数.

[1]LiuYN,GaoP.Smarandachemultiplicativefunction[J].ScientiaMagna,2005,1(1):103-107.

[2]SmarandacheF.OnlyProblems,NotSolutions[M].Chicago:XiquanPublishingHouse, 1993.

[3]ChenJB.ValuedistributionoftheF.SmarandacheLCMfunction[J].ScientiaMagna:2007,3(2):15-18.

[4] 李波,郭金保,彭娟.关于SmarandacheLCM函数的均方差问题[J].河南科学,2013,31(4):422-424.

[5] 彭娟,郭金保,李波,等.一个包含Smarandache函数的混合均值[J].延安大学学报：自然科学版,2013,32(1):8-10.

[6] 赵琴,高丽,艾轮.关于F.SmarandacheLCM函数的一个均值分布[J].河南科学,2016,34(1):7-10.

[7] 杨衍婷,任刚练.关于SmarandacheLCM函数及Smarandache函数SM(n)的混合均值[J].黑龙江大学学报：自然科学版，2013,30(3):318-320.

[8] 刘卓,石鹏.关于Smarandache函数的β次混合均值[J].纺织高校基础科学学报,2012,25(3):335-338.

[9] 张利霞,赵西卿.关于SmarandacheLCM函数的β次混合均值[J].湖北大学学报：自然科学版:2016,38(4):315-317.

[10] 郭晓艳.一个算术函数与最大素因子函数的混合均值[J].陕西师范大学学报：自然科学版,2010,38(2):12-14.

[11] 潘承洞,潘承彪.素数定理初等的证明[M].上海:上海科学技术出版社,1988.

[12]ApostolTM.IntroductiontoAnalyticNumberTheory[M].NewYork:Spring-Verlag,1976.

β-th Hybrid Mean Value of An Arithmetical Function and the Greatest Prime Divisor Function

Zhang Lixia, Zhao Xiqing

(School of Mathematics and Computer Science, Yan'an University, Yan’an 716000, China)

Smarandache multiplicative function; factor plot sequence; the biggest prime divisor function; mean value; asymptotic formula

2016-07-18

陕西省教育厅科研计划资助(2013JK0557);延安大学研究生教育创新计划项目

张利霞(1989-),女,陕西榆林人,延安大学2014级研究生，研究方向:数论，E-mail:qinjianhan@yeah.net

赵西卿(1965-),男,河南偃师人,副教授,硕士生导师,研究方向:解析数论,E-mail:ydzhaoxiqing@126.com

1004-1729(2017)01-0011-04

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ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0003