自发 自觉 自动

蔡文平++李晓梅

叶圣陶先生认为：教育就是要养成良好的习惯，教师的任务就是帮助学生养成良好的习惯。随着《课程标准》实施的逐渐深入，人们已经深刻认识到在小学数学教学中引导学生构建模型、渗透模型思想的重要性。心理学研究表明，幼儿期和儿童期是人类学习习惯养成的关键期。引导小学生养成建模习惯有助于《课程标准》的要求落地生根。因此，教师在数学教学过程中要有意识地帮助学生养成建模的习惯。

一、明确建模意义，促进学生自发建模

培养学生的建模习惯，教师首先要引导他们明确建模的意义。用数学方法解决实际问题需要建立相应的数学模型，因为建模是学生有效沟通数学与外部世界的桥梁，建模是学生解决实际问题的有效工具，是数学走向应用的必经之路。

弗赖登塔尔认为：学习数学知识的正确方法就是引导学生对知识“再创造”，即由学生在自主或合作探究中“发现、创造”出所要学习的知识。学生“再创造”数学知识的过程离不开建模。学生在数学建模中可以有效把握知识本质，学会数学地思考问题、分析问题和解决问题。建模时，教师借助有效的教学情境，引导他们学会用数学的眼光观察生活，并根据已有经验对生活原型进行适当提炼、简化和抽象，以便寻找和发现能充分反映实际问题的数量关系。学生不断思考，不断分析、推论、综合、概括，形成假设，并进行验证，形成独到见解，建构数学模型；解释和应用模型时，学生不是简单地把模型当成固定思维程序进行机械记忆和重复应用的过程，而是灵活合理地选择、确定问题解决策略的过程；模型拓展过程是学生思维向更高点发展的过程，为学生创造性思维的发展提供了可能。建模过程的思维活动体现了数学活动的本质。因此，数学建模不但能帮助学生密切数学与现实生活的联系，体会数学的应用价值，而且为他们提供了充满探索与交流、猜测与验证的活动平台，能促进他们思维发展，利于学习积极性和主动性的提升。简而言之，学会建模，甚至养成建模习惯有利于学生全面提升自己的数学综合素养。

学生明白了建模习惯养成的重要性，就会自发按照教师的要求去尝试建模。但小学生由于建模能力有限，注意力集中时间有限，学习兴趣和情绪变化起伏大，建模具有一定的随意性和情境性，建模常顾此失彼，无法完全到位，因而不够稳定，需要教师进一步引导。

二、掌握建模方法，促进学生自觉建模

猜测验证是学生建模的主要方法。猜测是学生建模的开始，验证是确定猜测的正确性，是学生积极参与学习过程，主动建模、获取知识的主要过程。对小学生而言，常见的建模过程包括逆向思考中建模，分析综合中建模，归纳演绎中建模和类比推理中建模等。

逆向思考中建模。所谓逆向思考中建模就是逆着正常思维过程去分析、思考和建模的方法。教学“解决问题的策略——转化”时，有这样一道题：“有16支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制（每场比赛淘汰1支球队）进行。数一数，一共要进行多少场比赛才能产生冠军？如果有64支球队参加比赛，产生冠军要比赛多少场？”一般情况下，教师都是引导学生建构“比赛场数=球队支数÷2+球队支数÷2÷2+……+2+1”这样的模型；如果逆向思考，产生1名冠军，需要淘汰其他所有队，从而建构“比赛场数=球队数-1”的模型。逆向思考对学生建模和培养创新意识都有着十分重要的作用。

分析综合中建模。所谓分析综合中建模，就是学生在探究新知中把整體分解为部分或把部分结合为整体的建模方法。用分析综合法建模可以帮助学生顺利发现反映本质联系的数学规律模型。教学“解决问题的策略——列举”时，有这样一道例题：“南山中心小学举行小学生足球赛。有4支球队参加，分别是红队、黄队、绿队和蓝队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛多少场？”教师可以根据题目中的信息分别列举出各场比赛情况并排一排：红-黄，红-绿，黄-蓝，红-蓝，黄-绿，绿-蓝；教师也可以在分析中画图列举（如图1），从而建立图论模型。引导学生在分析综合中建模，有助于学生顺利解决较复杂的实际问题。

这些建模方法是学生进行数学探究的方法，也是学生经历“再创造”数学知识的过程。掌握这些方法，学生建模就比较顺利。当然，不同建模过程的特点和使用条件有所区别，教师要引导他们学会根据具体情况灵活掌握使用。随着学生的认识水平的提高、自我控制能力的增强等因素的变化，学生在掌握一些常见的建模方法后，就能逐渐把建模行为视作内心的一种需求，建模便会逐步形成一种自觉行为。但这时的建模行为还多多少少带有一点主观情感的色彩，还具有一定的依赖性。

三、积累建模经验，促进学生自动建模

小学生的数学学习总是建立在一定经验基础上的。建模习惯的养成也不例外。帮助学生积累数学活动经验是《课程标准》的要求。我们将小学生在建模活动中所形成的数学活动经验称为建模活动经验。帮助学生积累建模活动经验不但有助于学生熟练建模，而且有助于学生养成建模习惯，甚至能帮助学生把建模习惯达到自动化的程度。

帮助学生积累建模活动经验，需要教师根据学生的认知发展水平、已有生活经验和知识经验的基础设计有效的数学活动，帮助学生在熟悉且有意义的问题情境中形成并积累一些新的建模经验。教学“钉子板上的多边形”时，教师先出示一块钉子板，并说明钉子板上相邻两个钉子之间的距离都是1厘米，然后由师生分别在钉子板上用毛线围多边形，比一比：说出它们的面积各是多少？结果总是教师既正确又快速地给出答案。小学生的好胜心强，比赛失利充分激发了他们的探究欲望。学生根据直觉猜测图形的面积与多边形边上和内部的钉子数可能有关。于是，学生在猜测验证中建构了图形内钉子数为1的面积计算模型——a=1时，S=n÷2（a表示多边形内的钉子数，S表示多边形的面积，n表示多边形边上的钉子数），并且初步形成建模经验——猜测验证有助于建模，但可能有一定的前提条件。在此基础上，学生在类比推理中继续建构出a=2时S=n÷2+1，a=3时S=n÷2+2，a=4时S=n÷2+3和a=5时S=n÷2+4等数学模型，最终建构了统一的数学模型S=n÷2+a-1，并有效丰富和提升了建模活动经验——构建的模型形式似乎不同，但本质一致。学生在建模活动中不断积累数学活动经验，有助于学生进一步掌握建模方法，为学生顺利养成建模习惯奠定了坚实的基础，学生的建模达到了一种不假思索的程度（即自动建模）阶段。这是学生的一种行为定势，建模已经成为他们习惯性的条件反射，并且达到了自动化境界，并慢慢地内化成他们自己个性品质结构中的有机组成部分。

小学生的数学建模习惯养成是教师有意引导他们不断“重复”建模的结果。如果学生真的能明确建模意义、掌握建模方法、积累建模经验，他们的建模习惯就会从自发阶段上升到自觉阶段，最终到达自动阶段。正如俄罗斯教育家乌申斯基所说的：习惯是教育力量的基础，是教育活动的杠杆。如果学生真正养成了建模习惯，教师的课堂教学就会事半功倍。当然，行为习惯的形成是一个漫长的阶段，良好的建模习惯离不开教师的耐心纠正和及时巩固。

（作者单位：江苏省泰兴市襟江小学 江苏省泰兴市教师发展中心 本专辑责任编辑：王彬）