巧用正方体解决立体几何计算题

李中花

【关键词】 数学教学；正方体；立体几何；计算题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2017）06—0124—01

立体几何知识是高考考查的重点内容，但面对许多复杂的几何计算问题，常让人束手无策，找不到解题的突破口.正方体作为最基本的空间模型，包含了丰富的点、线、面的位置关系.若能巧妙地借助正方体解题，必然会得到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果.下面，笔者举例说明.

一、有关三视图的一些问题

例如 ，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的所有棱中最长的棱的长度为多少？

解法一：将三视图还原为三棱锥D-ABC（如图1），

侧面DBC⊥底面ABC

易知 侧面DBC∩底面ABC=BC

AB⊥BC?AB⊥面DBC

?AB⊥BD

由侧视图可得，BD=2，BC=4，又AB=4，

则AC=4，AD=6，那么最长棱为AD=6.

解法二：根据三视图借助一个棱长为4的正方体（如图2），则三视图对应的多面体为三棱锥，易得最长棱为AD=6.

评析：在第一种解法中，只根据三视图本能地画出几何体，显然其中的线面关系不好确定，并且运算量相对较大.而第二种解法中，借助正方体可以有效实现三视图的还原，降低计算难度，提高解题效率.

变式：一个多面体的三视图如下图所示，则该多面体的体积是（ ）.

A. B. C.6 D.7

解：由三视图中三个图都是正方形可知该几何体是棱长为2的正方体（如图3），截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2×××1×1×1=.故选A.

二、有关异面直线的一些问题

例如，直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于多少？

解法一：延長CA到D，使AD=AC，连结A1D，BD，则四边形A1C1AD是平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角.图中BA垂直平分DC，得BD=BC.又直三棱柱中AB=AC=AA1，可得BC=BA1=AC1=A1D，则△A1DB是等边三角形，∠DA1B=60°，即异面直线BA1与AC1所成的角是60°.

解法二：把该直三棱柱补成一个正方体，如图5所示，借助正方体的性质，知AC1∥BD1，则就是异面直线BA1与AC1所成的角，A1B，DA1，BD三条线段都是正方体三个面的对角线，所以构成一个等边三角形，因此异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.

评析：对异面直线所成的角的问题，经常通过平移直线化异面为共面来解决.在解法一中构造了一个平行四边形完成了平移直线的任务，但此法相对较难，不容易找到解题的突破口.在解法二中，借助正方体中直线的平行关系成功的将异面直线平移到了某一个三角形中，从而通过解三角形来求角.

变式：在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共斜边，且AD=，BD=CD=1，侧面ABC是正三角形，求异面直线AD与BC所成的角.

解：由已知可以得出，AC=AB=BC=，∠BDC=90°，根据正方体的棱长、面对角线长、体对角线长的关系，可以联想到该三棱锥是棱长为1的正方体的一部分（如图6所示），则AE⊥面CDBE，直线AD在面CDBE内的射影为ED，又ED⊥CB，根据三垂线定理得AD⊥CB，即它们所成的角是90°.

编辑：谢颖丽