回到数学本身：让儿童在思考中学习（上）

刘玮

【摘要】数学是面向“思”的学科，思维是数学的灵魂。在小学数学教学中，营设发散思维空间，整体建构思维过程，呈现问题思辨经历，养成思疑证惑的习惯，是数学学科教学的本质要求，也是在学科教学中培养理性思维、批判质疑等核心素养的应然选择。

【关键词】数学思考 核心素养 思维 教学策略

一道数学题教学的忧思

这是一道图表题，其要求是让学生根据图表中蕴含的信息，分析出三位工人师傅工作效率的高低。在实际教学中，我们发现学生们多采用笔算的方式去解答这道题，甚至有好多人大声喊起来：“除不尽，这道题没法做！”这道题真的没法做吗？这道题真的需要计算才能解答吗？

答案自然不是这样的。如果儿童养成了良好的思维品质，解答这样的题是比较容易的。在这种教学场景背后，我们需要反思我们的数学教学：是什么原因让学生们在遇到问题时忘却了思考？是什么禁锢了他们思想的大脑？是什么遮蔽了他们发现的眼睛？正如苏霍姆林斯基所说，我们的教学正处在一种可怕的危险之中——这就是学生在学习中已不会思考，他们坐在教室里日复一日，月复一月，年复一年，却无所思索。数学思考的缺失，已使我们的数学教学失去了数学学科的本质特征。

一、偏离与缺省：儿童数学思考的教学现状

1.教学方式简单化——偏重于“告诉”，缺省了知识形成的过程经历

以“圆的面积”教学为例，一些教师通常认为只要让学生知道求圆的面积公式即完成了本节课的教学目标。于是在学生认识了圆的各部分名称的基础上，便采用“告诉”的方式，让学生知晓并熟记求圆的面积计算公式，进而让学生直接运用公式去求一些圆的面积。

这样的教学过程，看似在快捷中完成了教学任务，学生掌握了圆的面积计算公式，并能运用公式去解答一些问题。但究其本质，学生们没有经历把一个圆平均分成若干份后，进而转化成一个相似的长方形的过程，学生缺少了一个“转化”思想的经历，缺少了动手操作活动中圆的周长与长方形周长转化的体验。在看似高效快捷的教学中，学生多了“固化”结论的提前习得，却少了知识形成过程的思考与发现。

2.教学过程碎片化——偏见于“树木”，缺省了之于“森林”的整体认知

在小学数学教材中，知识编排虽然是用分散的方式散布在各个级段中，但分散的教学内容之间往往存在着结构性的关联。在实际教学中，一些没有经历小学阶段教学循环的教师大多缺乏对小学阶段数学教学内容的整体把握，知识点教学往往以相互割裂的方式“碎片化”地进行，儿童的数学思维也就只能在老师割裂于整体知识的教学中片面而狭隘地生长。长此以往，缺乏对数学知识形成、层递与发展整体性的了解和经历，必将导致儿童结构性数学思考的缺省与不足。

以“异分母分数加减法”的教学为例：常见的教学范例是，教师用一组题目让学生计算，题目中前几题是同分母分数加减法，而后一题或两题是异分母分数加减法。教师在学生们计算遇到困难时，让学生观察两类题目的异同，并引导学生通分后再计算。

这样的教学只是关联了同分母分数加减法和通分知识，而其实学习异分母分数加减法时，我们已经学习了整数、小数加减法的知识，或者说儿童已接近完成了小学阶段整个加减法的学习。尽管儿童学习整数、小数和分数加减法分散在不同的学期，计算过程也有各自的特点，但其运算的实质是相通的。我们需要让分数加减法顺应到加减法的运算体系中，从而让学生在整体化的理解中明白更为普遍的原理，促进有深度的数学思考的形成。

3.教学活动浅显化——偏囿于表层，缺省了深思冥想的顿悟体验

如教学“圆锥的体积”时，我们常见的教学设计是教师把学生分成四人一组做实验，每组的桌上放了等底等高的圆柱与圆锥容器各一个，学生通过操作得出圆锥的体积公式。但这一教学过程之后，学生在做求圆锥体积的题目时却出现很多错误。深究其因，是教师课始就为学生提供了等底等高的实验器具，以此遮蔽了新旧知识的分化点，教师回避、遮掩了学生学习可能暴露错误的过程，学生没有经历看似“混乱无序”的真实的动手探究过程，缺省了对实验条件的辨别及信息的批判，而这正是新知教学的关键环节。如果我们提供给学生的是四组不同的圆锥、圆柱容器，有的是等底等高，有的不是等底等高，学生的学习是否会经历深入的观察、分析、发现、合作、创新等过程？是否会在推导出圆锥体积公式的基础上，又促进实践能力和批判意识的发展？而这些目标的达成需要我们给学习者提供更富有挑战性的学习资源，开展深层次的探究学习活动，从而促进学习者深度思考的发生。

4.教学程序线性化——偏向于纵贯，缺省了融通联结的开放空间

在教学中，我们经常发现，儿童在解答一些教师原本讲过的习题时驾轻就熟，但是一旦遇到没有见过的题，即使是运用已有的知识结构就能解决的问题，也总是显得一筹莫展。通过实践研究我们知道，传统的教学大都是以“小步子、低坡度、分散难点”的方式展开问题教学，儿童是在教师设计好的“支离破碎”的问题链上进行学习的，并呈现出鲜明的线性方式。在一个个封闭的问题串中，儿童的发散性思维被紧紧地束缚在狭小的空间中。

以《乘加乘减》的教学为例：

教师先出示问题情境：5个鱼缸，分别有5条、5条、5条、5条、4条金鱼。

师：想知道5个鱼缸共有多少条金鱼用什么方法呢？

生：加法。

师：怎么加呢？我们今天学的可是乘加乘减啊。

生：就是先乘再加。

师：你说得真好，你能列个式子吗？

生：能。5×4+4。

師：对的。当我们遇到这样的题目时，我们首先要去看有几个几，再与另一个数相加减。我们一起来读一下好吗？

生齐读：先算几个几，再加减。

从上述教学过程可见，教师围绕“乘加乘减”的教学任务，把“共有多少条金鱼”的问题分解成一个个细碎的问题。在线性的问答中，学生的思维始终被牵引前行，最终在“先乘后加减”的齐读中完成新知的学习，而那些在开放情境中“5×5-1”“6×4+0”等有可能出现的思维火花因为思考空间的封闭而熄灭。其实，教师用线性的思维方式在把一个富有开放性的问题切割成一个个细碎的小问题时，也就封闭了儿童发散性思维的空间，有深度和广度的思维品质就这样困厄在思维的窠臼中。

二、此岸与彼岸：儿童数学思考的教学旨归

思维是数学的灵魂。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，引发学生的数学思考，掌握数学的基本思想和思维方式。《中国学生发展核心素养》也明确把科学精神列为六个核心素养之一，并提出了细化的具体要点，即理性精神、批判质疑和勇于探究。由此可知，当下的儿童数学教学亟须拷问数学教育的价值，厘清数学教学的方向，从而促进核心素养在数学教学中的“落地”与“生根”。

1.从学科教学走向学科教育

学生发展核心素养虽说是一个崭新的词汇，但其蕴含的思想却早就存在于不同社会发展阶段的教育价值追求中。从苏格拉底的“美德即知识”，到加德纳的“多元智能理论”，都是社会发展的不同时期人们对“教育要培养什么人”的追问与期冀。随着社会发展全球化、信息化时代的到来，我们亟须超越于传统知识、智能与技能等认识要求，建构适应于当代社会背景、促进自我可持续发展和社会和谐发展的关键素养，即“核心素养”。从核心素养的内涵来看，它是学生在接受教育的过程中，渐趋形成的能促进个体发展和社会发展的必备品质和关键能力。在传统的学科教学中，根深蒂固的学科知识立场，对学科价值的认识往往停留于知识的掌握上，忽视了学科的“育人”价值（米山国藏）。老师更多的是关注如何把固化的知识传递给学生，遮蔽了人们在发现问题、解决问题中的那种知识创造和发明的实践过程，遮蔽了人在大量事实性材料的基础上经历知识的归纳概括、提炼抽象的形成过程。当固化的知识成为数学教学的全部时，作为一个个鲜活个体的人的存在性就被遮蔽，其在认知过程中的创造性及其他素养的养成就没有了落实的可能。作为六个核心素养之一——科学精神的培育，需要我们跳出单一学科教学的束缚，在学科教育的大视野中促进理性思维、批判质疑和勇于探究等品质的养成。

2.从思维训练走向理性思考

传统的小学数学教学，往往重视学生形象思维和逻辑思维能力的培养。其实，数学教学中理性思维的含义远远不止于此，理性思维还需要我们在教学中有意识地对学生进行非逻辑思维、系统思维、批判性思维、辩证思维和图构思维等思维方式的培育，使学生养成实事求是、客观分析、一分为二、多角度思考等思维品质，促进儿童对数学概念、数学问题进行全面、深入的理解和分析，在深远的思考空间里发现数学规律、掌握数学方法、习得数学思想，从而多方面不同渠道地提升儿童的数学素养。

3.从经历过程走向经验积累

杜威认为，教育的出发点应该是儿童。一切教育教学活动的设计和组织都应确立儿童立场，并在此中引领儿童主动积极地建构，“做中学”。《中国学生发展核心素养》指出，培育学生理性思维的重点是使学生养成崇尚真知的价值追求，理解和掌握基本的科学原理和思维方法；拥有尊重事实和证据的意识和严谨的求知态度，具有问题意识，能独立思考，自主判断；思维缜密，能多角度、辩证地分析问题，做出选择和决定等，即以科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为等。从这个要求来看，我们必须让儿童从自己的数学现实出发，经历数学知识“再创造”的过程，在“做”中学，在“问”中学，在“思”中学，不断积累和丰富数学活动经验，在经历的基础上建构新的数学现实。

三、回到数学本身：儿童数学思考教学的实践建构

1.营设发散思维空间，激活儿童的数学思考

克莱茵说：“数学是一种精神，一种理性精神。”数学的理性精神蕴含着无限的智慧，有的表现着规定的理性，有的表现着变化的理性。数学教学中，我们需要培育学生思考问题的有序性，也要培育学生解决问题的灵活性。从有序的“规定”到看似无序的“变化”，往往能构造出学生的认知冲突和解决问题的心向。学生在这种“心求通而不能，口欲言而弗达”的“愤悱”之中，思维的火花被点燃，儿童主动意义下的积极思考方成为一种可能。

特级教师周卫东在教学《三角形的三边关系》一课时，他出示了这样一道探究题：“有两根小棒，一根是9厘米，一根是7厘米，可以把其中一根小棒剪成两段，你能将它们围成三角形吗？有几种可能？”

学生探究后回答有4和5、3和6、2和7时，教师又变换问题，你能把这三种情况的图形画出来吗？学生画出三种图形。

接着，周卫东老师又提出变化的条件：“如果考虑小棒的长度是小数，可能有多少种三角形呢？”学生的思维开始弥散，得出4.1和4.9、3.1和5.9、2.1和6.9等无限多种情况。

此后，教师再次激发学生在想象的基础上画出这些图形的景象，学生画出图示，如图：

一个又一个变化的问题，激活了学生的数学思维。在这个一层深过一层的追问中，学生在加深对三角形三边关系的理解的同时，更在潜移默化中接受到了极限、对应、函数等数学思想方法的浸润。正是因为有了這种不断逼近数学本质的追问，学生的思维走向了更远的地方。

在这个教学过程中，教师没有止步于一定的三种边长为整数的图形可能，而是在从整数变小数、从数字变图形的多层次变式中，引导儿童对问题进行积极的思考，并在逐步深入的探究活动中，激活儿童的数学思考，引领儿童经历问题发现、知识发生、思维发展的全过程。即便是在此课教学后的第二天，儿童仍沉浸在探究与思考的氛围中，从而自然而然地引出了对椭圆轨迹图示的前认识。从定到变，儿童深化理解的不仅是三角形三边关系的认识，还多了一回科学精神理性思考的深度体验。（未完待续）