非对称度量空间上的不动点定理

刘保庆，姚雪春

（南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210023）

非对称度量空间上的不动点定理

刘保庆，姚雪春

（南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210023）

非对称度量是一种不一定满足对称性的度量，目前非对称度量空间的基本理论在多目标约束最优化、人工智能、非线性控制等领域已得到广泛应用.文章结合非对称伪度量区间的相关概念，研究非对称伪度量空间中的共线性问题与始点问题，给出并证明非对称度量空间上集值映射和有向压缩映射的不动点定理与弱一致映射的公共不动点定理.

非对称度量空间；左（右）完备性；不动点定理

0 引言

研究发现，用于衡量两个事物之间相近程度的量并不一定满足对称性，例如市场信息就满足不对称性，在军事领域，国与国之间对情报的收集也具有不对称性特点.于是，从数学角度而言，人们开始考虑非对称度量、非对称度量空间的概念.

不动点定理自Brouwer提出以来，已引起国内外学者的广泛关注和兴趣.它在度量空间、赋范空间、拓扑向量空间等空间框架下都有经典的结果.不动点理论已成为非线性分析的重要组成部分，该问题的研究已经在偏微分方程、控制论、经济均衡理论、对策理论等领域获得广泛的应用.

本文主要在非对称度量空间框架下，给出有向压缩映射的不动点定理与弱一致映射的公共不动点定理.

1 预备知识

定义1 若集合X上的映射ρ:X×X→[0,∞)满足：

（1）ρ(x,y)≥0,ρ(x,x)=0;

（2）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z),∀x,y,z∈X;则称 ρ是非对称伪度量，(X,ρ)为非对称伪度量空间.若 ρ还满足，

（3）ρ(x,y)=ρ(y,x)=0⇒x=y,∀x,y∈X;则称ρ是非对称度量，(X,ρ)为非对称度量空间.

例1 在实数集R上定义函数 ρ(x,y)=max{x-y,0}，则(R,ρ)是非对称度量，容易知道 ρs(x,y)= |x-y|是实数集R上的欧氏距离.

定义2［1］若序列具有依拓扑收敛到点x的收敛性，则称序列是 ρ收敛的，记当且仅当

定义3［2］设(X,ρ)是非对称度量空间，对于序列{xn}⊂X，如果存在a∈X使得并且，若 b∈X，，则有 ρ(a,b)=0，称序列是上收敛的，a是序列{xn} 的上极限，记作同理，如果存在a∈X使得，并且，若b∈X，，则有ρ(b,a)=0，称序列是下收敛的，a是序列的下极限，记作

定义4［1］设(X,ρ)是非对称度量空间，对任意的x∈X,r＞0，定义X上的开球和闭球如下：

Bρ(x,r)={y∈X:ρ(x,y)＜r} 开球，

Bρ[x ,r]={y∈X:ρ(x,y)≤r} 闭球.

注1 非对称度量空间(X,ρ)的拓扑τρ是指由非对称度量ρ诱导的拓扑，即对任意点x∈X的邻域族vρ(x):V∈vρ(x) ⇔存在r＞0，使得Bρ(x,r)⊂V⇔存在r′＞0，使得Bρ[x,r′⊂V] .由于一个空间有两个拓扑τρ和τ，所以非对称度量空间可以被看作为一个双拓扑空间［1］.

定理1［2］非对称度量空间(X,ρ)具有如下的拓扑性质：

（1）非对称度量空间是T0空间，但不一定是T1空间.

（2）非对称度量空间是A1（满足第一可数性公理）空间.

（3）由于非对称度量空间未必是T2（Hausdorff）空间，所以其极限一般不具有唯一性.

（4）因为非对称度量空间是T0、A1空间，所以非对称度量空间中，列紧、可数紧和序列紧之间是等价的.

定义5 若集合X上的二元关系≤满足：

（1）（自反性） ∀x∈X，有x≤x；

（2）（反对称性）∀x,y∈X，x≤y且y≤x，有x=y；

（3）（传递性） ∀x,y,z∈X，x≤y且y≤z，有x≤z.

则称≤是X上的偏序.

定义6 设(X,ρ)是非对称度量空间，在其上定义序关系为x≤ρy⇔ρ(x,y)=0.

容易证明，≤ρ确实是X上的偏序关系.因此，每一个非对称度量都对应一个偏序关系，反之也成立.

例2［4］设(X,≤)是一个偏序集，对于任意的x,y∈X，显然，ρ是一个非对称度量.由ρ诱导的拓扑τ(ρ)称为Alexandroff拓扑.

例3［4］R+上的非对称度量 ρ:R+×R+定义为：ρ诱导R上的T1拓扑τ(ρ)的基是由所有以x∈R为中心的开球Bρ(x,r)组成，其中0＜r＜1.拓扑空间(R,τ(ρ))称为Sorgenfrey线.

定义7［2］设(X,ρ)是非对称度量空间，是非对称度量空间(X,ρ)中的序列.若对任意的ε＞0，存在nε∈N，使得对任意的n,m∈N，且nε≤n＜m，有ρ(xn,xm)＜ε，则称{xn}是非对称度量空间(X,ρ)中的上柯西序列（在文献［1］中也称为左柯西序列）.

若对任意的ε＞0，存在nε∈N，使得对任意的n,m∈N，且nε≤n＜m，有 ρ(xm,xn)＜ε，则称{xn}是非对称度量空间(X,ρ)中的下柯西序列（在文献［1］中也称为右柯西序列）.

注2 依ρ收敛的序列不需要是左柯西序列，非对称度量空间比度量空间中的情形更为复杂.

定义8［2］设A是非对称度量空间(X,ρ)的子集，如果A中任意上收敛序列的上极限属于A，称A是上闭集.

定义9［2］如果非对称度量空间(X,ρ)中的每一个上（下）柯西序列都存在上（下）极限，则称(X,ρ)是上（下）完备的.

定义10［1］如果非对称度量空间(X,ρ)中的每一个左（右）柯西序列都是依ρ收敛的，则称(X,ρ)是左（右）完备的.

2 非对称度量空间中的不动点定理

定义 11［3］设 (X,d)是非对称伪度量空间，对 x,y∈X，定义包含 x,y的 X的子集称x,yd是(X,d)的非对称伪度量区间.

例4［3］考虑包含4个点的集合X={1,2,3,4}，非对称度量q由如下矩阵定义:

即qi,j=q(i,j),i,j∈X，可以验证q是X上的非对称伪度量.

定义12［3］设(X,d)是非对称伪度量空间.

（1）若集合 X中有限序列{x1,x2,…,xn}，对任意i＜j＜k≤n，都有 d(xi,xk)=d(xi,xj)+d(xj,xk)，则称{x1,x2,…,xn}在(X,d)中是共线性的.

（2）若存在一个元素y∈X，使得d(y,x)＞0，且对于任意的z∈X，满足(y,x,z)在(X,d)中共线性，都有x=z，称元素x∈X是(X,d)的终点.

（3）若存在一个元素y∈X，使得d(x,y)＞0，且对于任意的z∈X，满足(z,x,y)在(X,d)中共线性，都有x=z，称元素x∈X是(X,d)的始点.

定义13［3］设(X,d)是非对称伪度量空间，若(X,τ(ds))是序列紧致空间，则称(X,d)是间接序列紧致空间.

引理1（Zorn′s引理） 设P是一个偏序集，若偏序集P中任意的链（即全序子集）在P中都有上界，则偏序集P至少有一个最大元.

设 (X,ρ)是非对称度量空间，对于 x,y∈X，定义连接 x和 y的 ρ度量片段为[x;y]ρ={z∈X:ρ(z,x)+ρ(z,y)=ρ(x,y)}.

定义14［1］若存在 α,0＜α＜1，使得对每一个 x∈X，f(x)≠x，存在 z∈[x;f(x)]ρ,z≠x，使得ρ(f(x),f(z))≤αρ(z,x)，则称映射 f:X→X是一个有向压缩映射.

定理2 设(X,ρ)是右完备的非对称度量空间，f:X→X是一个映射使得

（ii）对于某一个α,0＜α＜1，f是一个α有向压缩映射，且对任意的x,y∈X，ρ(f(x),y)≤αρ(x,f(y)).则 f有一个不动点.

证明 定义函数g:X→R如下：

设 {xn}⊂X是由不同的点组成的序列，且则由（i）知，因此，对任意n∈N，有

对上述不等式两边同时取下极限得，

即函数g在点x处是接近下半连续的.

对某一个0＜ε＜1-α1，存在z0∈X，使得对任意x∈X{z0}，

下面证明z0是 f的不动点.

若 f(z0)≠z0，则由（ii）知，存在z1∈[z0;f(z0)]ρ,z1≠z0，使得

又

令式（1）中的x=z1，得

所以 ρ(z0,f(z0))=0.又由 f(z0)≠z0，知存在0＜α2＜1，z2∈[f(z0);z0]ρ,z2≠z0，使得

因此，

所以，

于是，

又(X,ρ)是非对称度量空间，知 f(z0)=z0，即z0是 f的不动点.

注4 定理2在文献［1］的基础上通过增加说明ρ(f(z0),z0)=0，将文献［1］中的结论由T1非对称度量空间推广到一般的非对称度量空间上.

定义15［5］设 f和g是非空集合X上的自映射.如果存在点x∈X，使得w=fx=gx，则称点x是 f和g的一致点，w是 f和g一致点.

定义16［5］设 f和g是非空集合X上的自映射，如果 f和g在它们的一致点是可替换的，则称它们是弱一致映射.

引理2［5］设 f和g是非空集合X上的弱一致自映射，如果 f和g有唯一的一致点w=fx=gx，则w是 f和g的唯一的公共不动点.

定义17［6］设Γ0是所有连续函数F(t1,t2,…,t6):R6+→R的全体，且函数F满足下列条件：

（A1） F关于变量t5是非单调增的，

（A2）存在某一个函数h1使得对所有的u,v≥0，F(u,v,v,u,u+v,0)≤0，有u≤h1(v)，

（A3）存在某一个函数h2使得对所有的t,s＞0，F(t,t,0,0,t,s)≤0，有t≤h2(s).

用Ψ表示函数ψ:[0,∞)→[0,∞)的全体，且函数ψ满足下列条件：

（ψ1）：ψ是非单调增的，

（ψ2）：对每一个其中ψn是ψ的n次迭代.

注5 容易看出，如果ψ∈Ψ，则ψ(t)＜t对任意的t＞0都成立.

定义18 设Γ是所有连续函数F(t1,t2,…,t6):R6+→R的全体，且函数F满足下列条件：

（F0） F(t1,t2,…,t6)=0当且仅当t1=t2=…=t6=0，

（F1） F关于变量t5是非单调增的，

（F2）存在某一个函数h1∈Ψ使得对所有的u,v≥0，F(u,v,v,u,u+v,0)≤0，有u≤h1(v)，

（F3）存在某一个函数h2∈Ψ使得对所有的t,s＞0，F(t,t,0,0,t,s)≤0，有t≤h2(s).这里h1和h2的假设与定义17中不同，下面关于上述定义给出两个具体例子［8］.

例5 F(t1,t2,…,t6)=t1-at2-bt3-ct4-dt5-et6，其中a+b+c+2d+e＜1,a,b,c,d,e≥0.

（F1）显然成立.

设 u,v≥0，F(u,v,v,u,u+v,0)=u-av-bv-cu-d(u+v)≤0，则即 存 在 函 数使得u≤h1(v)，（F2）成立.

设t,s＞0，F(t,t,0,0,t,s)=t-at-dt-es≤0，则有，即存在函数使得t≤h2(s)，（F3）成立.

例6 F(t1,t2,…,t6)=t1-kmax{t2,t3,…,t6}，其中

（F1）显然成立.

设u,v≥0，F(u,v,v,u,u+v,0)=u-kmax{u,v,u+v}≤0，则有即存在函数使得u≤h1(v)，（F2）成立.

设t,s＞0，F(t,t,0,0,t,s)=t-kmax{t,s}≤0.如果t＞s，则t(1-k)≤0，矛盾.因此t≤s，于是t≤ks，即存在函数h2(s)=ks使得t≤h2(s)，（F3）成立.

定理3 设(X,ρ)是非对称度量空间，函数 f,g:(X,ρ)→(X,ρ)使得

其中F∈Γ.（fx表示 f(x)，gx表示g(x)，其他的以此类推）.如果 f(X)⊆g(X),g(X)是(X,ρ)的完备的非对称度量子空间且F(t1,t2,…,t6)关于第一个变量非递减，那么函数 f和g存在唯一的一致点.特别地，如果函数 f和g还是弱一致映射，那么 f和g存在唯一的公共不动点.

证明 设x0是集合X中的任意一个点，由 f(X)⊆g(X)，可以选出点x1∈X使得 fx0=gx1.类似地，可以选出x2,x3,…,xn,…，使得 fxn=gxn+1.由（2）式，有

于是，

由定义18中的性质（F1）和非对称度量的三角不等式知，

由定义18中的性质（F2）可以得到

如上述重复进行下去，可以得到

因此，对于任意的m＞n，由非对称度量的三角不等式，可以得到

当n,m→∞时，有ρ(gxn,gxm)→0，即{gxn}是左柯西序列.类似地，由（2）式，有

于是，

由定义18中的性质（F1）和非对称度量的三角不等式知，

由定义18中的性质（F2）有

如上重复下去有

因此，对于任意的n＞m与非对称度量的三角不等式有

当n,m→∞时，ρ(gxn,gxm)→0，即{gxn}是右柯西序列.因此，{gxn}是柯西序列.由于g(X)是(X,ρ)完备的非对称度量子空间，所以存在点q∈g(X)使得gxn→q=gp,n→∞.

下面证明 fp=gp.

由（2）式，令x=xn-1,y=p，有

即

当n→∞时，有

由定义18中的性质（F2）知，ρ(gp,fp)=0.

同理，由（2）式，令x=p,y=xn-1，有

即

当n→∞时，有

由ρ(gp,fp)=0和（3）式知

由F(t1,t2,…,t6)关于第一个变量非递减和（4）式可得

因此，F(ρ(fp,gp),0,0,0,0,0)=0.由定义17中性质（F0）知，ρ(fp,gp)=0.故ρ(gp,fp)=ρ(fp,gp)=0，由非对称度量空间的定义知,fp=gp.因此w=fp=gp是函数 f和g唯一的一致点.此外，如果函数 f和g还是弱一致映射，由引理2可知，w是 f和g的唯一的公共不动点.

注6 定理3是在本文定义的非对称度量空间下（不同于文献［7］中的非对称度量空间）研究映射的公共不动点问题，它是文献［7］中定理2的推广.

推论1 设(X,ρ)是非对称度量空间，函数 f,g:(X,ρ)→(X,ρ)使得对任意的x,y∈X，

证明 取F是例6中的F，即F(t1,t2,…,t6)=t1-kmax{t2,t3,…,t6}，其中显然，F(t1,t2,…,t6)关于第一个变量是非递减的，由定理3知结论成立.

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The Fixed Point Theorem on Asymmetric Metric Space

LIU Baoqing，YAO Xuechun
（School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，210023，Nanjing，Jiangsu，China）

A quasi-metric is a distance function which is not necessarily satisfying symmetry.The fundamental theory of quasi-metric spaces is widely used in the field of multi-objective constrained optimization，artificial intelligence，nonlinear control，theoretical computer，etc.In this paper，we introduce relative notions of pseudo-quasi-metric interval in pseudo-quasi-metric spaces.Based on that，collinear problems and start point problems are also considered on the pseudo-quasi-metric spaces.Moreover，a fixed point theorem of the set-valued situation，a fixed point theorem for directional contractions and a common fixed point theorem have been proved.

quasi-metric space；left（right）completeness；fixed point theory

O 177.91

A

2095-0691（2017）01-0017-07

2016-07-06

国家自然科学基金青年基金项目（11401296）；江苏省普通高校自然科学基金面上项目（14KJB110007）；江苏省自然科学基金青年基金项目（BK20141008）

刘保庆（1984- ），男，山东聊城人，博士，副教授，研究方向：不动点理论、偏微分方程数值解法.