让学生真正理解圆的面积公式

许定山

【背景】

一位老师在“圆的面积”新授课的全课总结环节安排了学生质疑，其中有一位学生的发言引起了我的注意，她说：“既然圆的面积转化成的是一个近似的长方形，那圆的面积公式为什么不写成S≈πr2呢？”这位老师可能是因为快要下课了，也有可能是对这个问题没有预设，不知怎么回答，老师说：“因为它是一个公式，所以必须用等号。”学生似懂非懂坐下了，很显然这位老师的回答并不能让学生信服。

学生为什么会产生这样的疑问？看来学生并不认为他们学到的圆的面积公式是准确公式，这样的认识到底是个别学生或者是个别班级，还是一个普遍现象，带着这样的思考，笔者先后对周边学校20个班级的六年级学生进行了问卷调查，调查内容是这样的：

把你认为正确的答案序号填在括号里，可以多选：

1.我们在学习圆的面积公式时，是把圆转化成（ ）计算它的面积的。

A.近似的平行四边形 B.平行四边形

C.近似的长方形 D.长方形

2.圆的面积公式是（ ）。

A.S=πr2 B.S≈πr2 C.S>πr2 D.S<πr2

考虑到“圆的面积”是五年级的内容，六年级学生已经把这一知识搁在一边一段时间了，对一些似是而非的答案可能判断不准确，但学习“圆的面积”时已经形成的结论，也就是第一题的D答案和第二题的A答案不应有错。于是，我在统计时只要第一题所选的答案中包含D，第二题的答案中包含A就算对。但统计结果第一题没有选择D，第二题没有选择A的学生相当普遍，几乎所有班级这样的学生都超过了50%，其中第一题没有选择D的竟然高达95%，很多学生选择了C。为什么会选择C呢？在与科任老师的交流中，我发现了这样的教具或课件：

把最右边的扇形平均分成两半，把其中一半移到左边。这样就把一个近似的平行四边形转化成了近似的长方形，难怪有这么多的学生选择了C。这样的教学虽然便于学生看出长方形的长和宽，但学生没法理解一个圆能通过无限分割真的拼成长方形。

【原因分析】

針对这样的调查结果，在与多位老师的交流中，我们普遍感觉到当下的圆面积教学存在以下不足：

1.学生操作感知不够，有很多学生只拼了16等份或32等份的圆，缺少从4等份到8等份再到16等份、32等份的完整过渡，学生观察不全面，无法从中发现拼成的图形逐步由近似平行四边形向长方形过渡。

2.教学中过多地关注如何拼以及拼成后面积如何计算，也就是更注重公式的形成过程，而如何拼成一个真正的长方形笔墨不多。

3.推导过程只局限在平均分的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，究竟能不能拼成长方形学生模棱两可。

【改进措施】

我们有针对性地对圆面积教学进行了一些改进：

在教学中增加了4等份和8等份圆的操作，每操作完一种就把它拼成的形状记录在电脑上，并且每拼成一个图形都让学生说说像什么图形，4等份时竟然有学生说不出像什么图形，在拼32等份后老师安排了比较环节：

师：一开始4等份时你们为什么没有发现拼成的是一个近似的平行四边形？有的学生认为上下两条边太弯曲了，感觉一点也不像；有的学生认为就像一只乌龟，谁知道会是近似的平行四边形。

师：随着平均分的份数越来越多，拼成的图形的变化趋势是怎样的？

学生：上下两条边不太弯曲了。

学生：不像乌龟了（笑）。

师：怎么就不像乌龟了呢？

学生：头不翘了。

另一学生：倾斜得不厉害了。

老师对这名学生进行了表扬，老师问：要是再继续分下去，会怎样？在学生说出一些答案后老师在屏幕上出示了64等份的近似平行四边形。

师：你有什么感受？

生：我感觉都有一点像长方形了。（也有的学生争执，认为还应该是近似的平行四边形）

师：不管它是近似的平行四边形还是长方形，你会大概的计算一下它的面积吗？老师只给一个条件，原来的圆半径是5厘米。（“大概”两个字声音特意强调）

学生尝试计算，得出这个近似图形面积的计算方法是πr2。

老师在圆的面积S和πr2之间加上约等号，面带苦涩地说：圆的面积用这种方法计算只能得到一个大概的结果呀！

师：有没有办法找出求圆面积的准确公式？（停顿1分钟多，有的学生在下面小声议论）

学生议论一段时间后，有学生举手说：我相信继续不断地分下去，上下两条边就不再弯曲了。

另一个学生连忙举手：斜边也不再倾斜了。

部分学生：那就变成了真正的长方形了。

老师在屏幕上展示长方形，指出：科学家正是这样坚持不懈地分下去，最终发现圆是可以转化成长方形的。

接着再让学生自主讨论长方形与圆的关系，得出圆的面积计算公式，老师亲手把S和πr2之间的约等号改成等于号。

本节课上到这里离下课时间已经不多了，老师勉强带领学生完成实际应用就下课了，似乎有些仓促，来不及巩固了，显得并不完美。但比起完整的推导过程，显然得远远大于失，因为学生真正理解了圆的面积推导过程，学生第一次通过了无限分割的方法解决了问题。从另一个角度来看，我们的学生是千差万别的，很多学生可能以后并没有机会接触数学极限的思想，没有这样的教学他们可能终生都认为圆的面积是一道近似公式。

参考文献：

吴剑春，马凤枝.“圆的面积”设计及评析[J].小学教育科研论坛，2004（21）.

编辑 杨国蓉