化圆为方问题

杨延祥

【摘要】本文分三部分论证“化圆为方”的作图可能性及作图方法.一是问题的思考：说明确定“化圆为方问题”作图可能的思维方法和研究方法.二是数学分析：三个定理的证明.定理Ⅰ证明“化圆为方”的作图可能；定理Ⅱ、定理Ⅲ解决了“化圆为方”的作图问题.三是作图：“化圆为方”作图方法和作图步骤.

【关键词】化圆为方问题；作图可能；定理

一、问题的思考

“化圆为方问题”就是用尺规作一个正方形，使这个正方形的面积等于已知圆的面积.像解决“三等分角”问题那样，采用逆向思维方法，以已知圆为约束图形作一个以已知圆的圆心为中心的正方形，设这个正方形的面积等于已知圆的面积，逐步求出与正方形的元素呈有理代数关系及开平方关系的已知圆的元素.经运算，证明“化圆为方问题”作图可能.

二、数学分析

定理Ⅰ中心位于已知圆的圆心的正方形的边已知，且圆形成的正方形外的弓形面积等于正方形的角与其所夹圆弧围成的面积，则该正方形的面积等于已知圆的面积（如下图）.

证设已知圆半径为R，O为圆心，正方形ABCD的中心位于O，正方形的边交圆于A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，

S1为已知圆的面积，

S2为正方形ABCD的面积，

S3为A1A2的弓形面积，

S4为∠A2BB1与A2B1围成的面积，

S5为S1，S2重叠部分的面积.

∵S3=S4，①

∴S1=S5+4S3=πR2，②

S2=S5+4S4=πR2，③

∴S1=S2=πR2.④

定理ⅡFG为以O为圆心，半径ON=R的圆的内接正方形的一边，FG⊥ON交ON于N2，E为N2G上一点，且N2E∶EG=1∶2，EA2∥OG交圆于A2，过A2作平行于FG的直线分别交内接正方形对角线的延长线于A，B，则AB=πR（如上图）.

证由定理Ⅰ.

∵S3=S4，①

AB=πR，②

N3为AB与ON的交点，

N3B=12AB=12πR.③

作圆的直径MM1使MM1⊥NN1.④

作线段NM1交N2G于E，交OG于G2.

∵△NN2E≌△EG2G，⑤

∴NN2=N2E=EG2=G2G，⑥

NE=EG=2N2E，⑦

∴N2E∶EG=1∶2.⑧

过E，G分别作N3B的垂線交N3B于E′，G′.

∵N3B=N2G+G′B=N2G+E′A2=π2R，⑨

G′B=GG′=E′A2=N2N3，⑩

∴EA2∥GB，B11

∴AB=2（N3B）=πR.B12

反之，过E作OG的平行线交圆于A2，再过A2作FG的平行线分别交OF，OG的延长线于A，B；则AB=πR.B13

定理Ⅲ如果正方形ABCD满足定理Ⅰ、定理Ⅱ的约束条件，则等腰直角三角形A2BB1的三边长度之和等于2R，且A2G3∶A2B=1∶2.

证由定理Ⅰ、定理Ⅱ为已知条件作直角等腰△A2BB1，A2B1交OG于G3.

三、作图（如上图）

1.在以O为圆心，R为半径的圆上作内接正方形的一边FG，半径ON⊥OM1且使FG⊥ON.①

连接N，M1交FG与E.

2.过E作NM1的垂线交圆于A2，过A2作FG的平行线分别交OF，OG的延长线于A，B，由定理Ⅱ知AB=πR.②

3.以AB为一边作中心位于圆的圆心的正方形ABCD，得该正方形的面积