注重概念绵里藏针

林珏杏

一、问题的提出

2016年高考全国卷23题如下：

（选修4-4：坐标系与参数方程）在坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=acost，y=1+asint， （t为参数，a>0），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.

（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

笔者参加了今年的高考评卷工作.据笔者调查，相当多的文科考生认为这道题“不好做”，第一问“还可以”，第二问“看不懂”，“很难算”.笔者认为，“注重概念，绵里藏針”是这道题的显著特点，尽管题目的表述给人的感觉很平和，但要想彻底解决它，需要有点真功夫才行.来自阅卷现场的数据也说明了这一点：该题全省文科平均分4.2分，理科平均分6.7分（满分10分），文科的难度系数为0.42，理科的难度系数为0.67.在高考数学的六道大题中，这道题的难度相对较小，原本以为可以拿高分，这样的得分结果，远低于命题预期.

学生的答卷暴露出哪些问题？对极坐标与参数方程的课堂教学有什么启示？笔者对此进行了初步的分析与思考.

二、典型错误及解题分析

1.典型错误一：没有判断C1的曲线类型或判断错误.

例如，有的考生这样作答：“∵C1的参数方程为x=acost，y=1+asint （t为参数，a>0），∴C1是椭圆”，或者“曲线C1是过定点（0，1），斜率为tant的直线（t为参数），y-1x=tant”，或者“曲线C1为圆锥曲线”“曲线C1为抛物线”“曲线C1为双曲线”.

原因分析：这样作答的考生没有把握概念的本质特征，不理解圆的参数方程这个概念，辨别不清邻近的数学概念，混淆了圆的参数方程与椭圆的参数方程、直线的参数方程，把常数a当作参数，把圆的参数方程当成了直线的参数方程，消去的是常数a而不是参数t，导致参数方程化为普通方程时化错.

2.典型错误二：没有化曲线C1的参数方程为直角坐标方程或化错.

有的考生这样作答：“由x=accost，y=1+asint，得x2=acos2t，y2=1+asin2t，x2+y2=1+2a”，或者“x2=cos2t，（y-1）2=sin2t”.

原因分析：这样作答的考生没有掌握运算化简的算理cost=xa，sint=y-1a，cos2t+sin2t=1.

不知道如何消去参数，运算求解能力低下.

3.典型错误三：没有对常数项a进行平方.

“曲线C1的直角坐标方程为x2+（y-1）2=a，（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=a，ρ2-2ρsinθ+1-a=0”，a少了平方，由此一路往下一直到第二问，总是错在同一个地方，导致严重失分.

原因分析：这一类考生由于粗心导致计算错误，运算求解能力低下，基础训练不充分.

4.典型错误四：没有求解曲线C1的极坐标方程.

有的考生判断了曲线C1的类型，求出了C1的普通方程后，还没有求曲线C1的极坐标方程，尚未得到题目需要的结果，就直接跳到第二问进行作答.

原因分析：这一类考生或者审题不清，漏看题目的要求，没有看清第一问有两个考点；或看清了题目的要求，但不清楚极坐标方程与直角坐标方程这两个概念，或者没有掌握转化的算理x=ρcosθ，y=ρsinθ，不知道该如何把直角坐标方程化为极坐标方程.

5.典型错误五：没有充分化简曲线C1的极坐标方程或化错.

例如，有的考生化简的最终结果是“ρ2cos2θ+（ρsinθ-1）2=a2”，或者“ρ2-ρsinθ-1-a2=0”或者“ρcos2θ+ρsin2θ-2ρsinθ+1-a2=0”.

原因分析：这一类考生不明确化简要达到什么程度，或者是平时的教学中教师没有做出明确的要求，或者是教师提出了要求而考生没有留意，或者是尽管留意了但是不会平方差公式导致无法展开（ρsinθ-1）2，或者移项后没有变号，或者不记得cos2θ+sin2θ=1.

6.典型错误六：没有讨论极径ρ的取值范围.

例如，有的考生所下结论为：“曲线C1的极坐标方程为ρ=2ρsinθ+1-a2ρ”.

原因分析：这一类考生对极坐标的定义理解不透，考虑问题不全面，不明确极径ρ的取值范围.他们没想到“ρ=2ρsinθ+1-a2ρ”中的ρ出现在分母，不能取0，与正确答案ρ2-2ρsinθ+1-a2=0相比，ρ的取值范围中缺少了0，曲线C1对应的图形少了一个点（0，0）.

7.典型错误七：没有得到曲线C3的直角坐标方程y=2x.

原因分析：这一类考生不清楚经过极点的直线的极坐标方程为θ=α0，对应直角坐标系中经过坐标原点的直线，或者忘记了斜率的概念，斜率k=tanα0=2，求不出对应的方程y=2x.

三、教学思考

1.概念教学时，让学生明确概念的来龙去脉，让学生感受知识的发生、发展过程，悟透概念的本质，尤其是圆的参数方程的概念.上文中提到的错误一、错误四、错误六和错误七与概念有关.

2.结合教材《选修4-4坐标系与参数方程》第23页圆的参数方程的概念，进行调整并且对概念进行拓展外延.例如，这样调整：

设圆O的半径是r，点M（x，y）从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速直线圆周运动，OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度为变数t，以O为坐标原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系.过点M向x轴作垂线，交x轴于点D，三角形OMD为直角三角形.OD=x=rcost，MD=y=rsint，所以x=rcost，y=rsint （t为参数），t的取值范围由旋转的角度大小而定.

例如，当t=π2时，点M落在y轴上；当t大于0而小于2π时，表示的图形是扇形的弧；当t大于等于0且小于等于π2时，表示的图形是圆心角为π2的扇形的弧；当t大于等于0且小于2π时，表示的图形是一个圆.

归纳拓展：圆心在坐标原点（0，0），半径为r的圆的参数方程可表示为x=rcost，y=rsint （t为参数）；

圆心在（x0，y0），半径为r的圆的参数方程可表示为x=x0+rcost，y=y0+rsint （t为参数）.

3.解题教学时，展示算理，详细展示具体的运算求解过程.

4.由教师进行点拨，师生一起根据解题过程，引导学生進行解题回顾与反思，并进行方法的提炼与领悟.

例1已知曲线C1：x=-4+cost，y=3+sint （t为参数），C2：x=8cosθ，y=-2+8sinθ （θ为参数），C3：x=3+2t，y=-2+t （t为参数），C4：x=1+s，y=1-s （s为参数）.

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）化C3，C4的方程为普通方程.

解（1）平方和消参法：由曲线C1：x=-4+cost，y=3+sint， 得cost=x+4，sint=y-3，因为cos2t+sin2t=1，所以（x+4）2+（y-3）3=1，曲线C1是圆；

由C2：x=8cosθ，y=-2+8sinθ （θ为参数），得cosθ=x8，sinθ=y+28，因为cos2θ+sin2θ=1，所以x82+y+282=1，即x2+（y+2）2=64，曲线C2是圆.

归纳点拨：对比C1与C2的参数方程，发现两个方程中，一个方程的参数用t来表示，另一个方程的参数用θ来表示，但它们代表的曲线都是圆，说明代表变量的参数与所用的字母无关.

（2）代入消参法：C3：x=3+2t，y=-2+t （t为参数），由y=-2+t得t=y+2，

代入x=3+2t得x=3+2（y+2），C3的普通方程为x-2y-7=0.

加减消参法：因为C4：x=1+s，y=1-s （s为参数），所以x+y=（1+s）+（1-s）=1，即x+y=1为C4的普通方程.

接着提出以下问题，让学生感悟解题规律：

判断参数方程所表示的曲线类型的方法是什么？消去参数有什么方法？各种方法的特点是什么？如何选择合理的方法？

归纳点拨：判断参数方程所表示曲线的类型的方法是把参数方程化为熟悉的普通方程.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常用的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法等.

5.整合单元内容时，对知识点进行归纳整理，对概念进行纵横对比，区分概念的异同，使学生明确概念间的差异，悟透概念的内在联系.例如，

① 圆心在（x0，y0），半径为r的圆的方程.

普通方程：（x-x0）2+（y-y0）2=r2；

参数方程：x=x0+rcost，y=y0+rsint （t为参数）；

极坐标方程：（ρcosθ-x0）2+（ρsinθ-y0）2=r2或

ρ2-2ρx0cosθ-2ρy0sinθ+x20+y20-r2=0.

② 直线的参数方程为x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t为参数）（其中（x0，y0）为定点，α为直线的倾斜角）.

③ 椭圆x2a2+y2b2=1的参数方程为x=acosα，y=bsinα （α为参数）（a≠b）.

区别：圆的参数方程中，正、余弦的系数相同，正、余弦值是变化的；椭圆的参数方程中，正、余弦的系数不同，正、余弦值也是变化的；直线的参数方程中，正、余弦值是固定的常数，作为变量t的系数出现.

6.结合常用三角公式，进行综合训练.

极坐标与参数方程的内容，常常和三角恒等变换的内容一起出现，综合性较强.因此，在授课之前，有必要帮助学生复习三角恒等变换的相关公式，强化这些公式的记忆和运用.比如，二倍角公式、辅助角公式、降幂公式、两角和与差公式、平方和公式以及正切公式的商数关系等内容，都需要引起高度重视.

总的来看，这道高考试题加大了对概念的考查力度，在把握概念的本质属性方面提出了较高的要求，反映出命题者对基础的重视，反映了让学生在解题之余重视基本概念的命题意图.在考查基础知识的同时，加大了同一模块知识间的综合力度，具有一定的综合性，要想解得快、准，考生必须对教材中的知识点清清楚楚，既不能有遗漏，也不能一知半解，否则，就会影响解题进程，甚至得到错解.而高考是具有高度选拔性的考试，试题必然是在数学本质的表层上戴上特别的饰品，这就要求学生掌握数学的本质，抓住数学的精髓.在教学中如果只注重解题训练和类型归纳，忽视对概念的理解和把握，考生在考试时就会出现按图索骥、机械解题，题型一变，就不能适应，只好望题兴叹，本来不难的试题也解答不好.

【参考文献】

[1]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004：4.

[2]牛胜玉.数列·高中数学知识大全[M].长沙：湖南师范大学出版社，2013：385.