“复数”常用数学思想方法

黄传杰

【基金项目】本文为福建省教育科学“十三五规划2016年度立项课题‘核心素养理念下的数学变式教学的行动研究”（立项批准号MJYKT2016-178）的阶段性研究成果.

本文通过典例剖析的形式，主要归纳、总结了求解有关复数问题时常用的数学思想方法，旨在帮助学生拓宽解题思维，提高分析、解决问题的实际能力.

一、“数形结合思想”的应用

“数”与“形”是同一个事物的两个方面，以“形”判“数”，以“数”论“形”的思想就是数形结合思想.“数”与“形”在一定条件下，可以相互转化、相互渗透.华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.

例1设复数z在复平面内对应的点为Z，若点Z在以原点O为圆心的单位圆上运动，则复数z+1+2i对应的点的轨迹是（）.

A

B

C

D

解析设复数z+1+2i=x+yi（x，y∈R），则z=x-1+（y-2）i，又复数z对应的点在单位圆上，所以，|z|=（x-1）2+（y-2）2=1，所以（x-1）2+（y-2）2=1.

于是，复数z+1+2i对应的点（x，y）的轨迹是以点（1，2）为圆心，以1为半径的圆.故选A.

评注：本题设计比较新颖，主要考查复数的几何意义与圆的交汇知识，需要灵活运用复数的代数形式加以求解.

二、“分类与整合思想”的应用

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后整合得解，这就是分类与整合思想.分类与整合思想主要体现了“化整为零”“各个击破”的解题策略.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：标准统一，不漏不重.

例2集合{in|n∈N}（其中i为虚数单位）中的元素共有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析因为n∈N，所以当n=4k，k∈N时，in=i4k=1；当n=4k+1，k∈N时，in=i4k+1=i；当n=4k+2，k∈N时，in=i4k+2=i2=-1；当n=4k+3，k∈N时，in=i4k+3=i3=-i.

综上，集合{in|n∈N}={1，-1，i，-i}，显然其中共有4个元素.故选D.

评注：结合虚数单位i的特性（i4=1）可知，本题应按正整数n除以4的余数（0或1或2或3）加以讨论.

三、“转化思想”的应用

将未知的或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，转化为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫作转化思想.转化思想的实质是“寻求联系，实现转化”.

例3已知复数z=1+（1-ti），若复数z2在复平面内对应的点在第二象限，求实数t的取值范围.

解析∵复数z2=[1+（1-t）i]2=1+（1-t）2i2+2i（1-t）=（2t-t2）+（2-2t）i，∴由该复数对应的点（2t-t2，2-2t）在第二象限，得2t-t2<0，2-2t>0， 解得t<0.

故所求实数t的取值范围是（-∞，0）.

评注：本题求解的关键在于，将复数z2对应的点在第二象限转化为关于实数t的不等式组.

四、“函数与方程思想”的应用

方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组，从而使问题获解.函数思想是从题目的条件出发，通过联想，构造函数模型，利用函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等）和图像，从而使问题获解.

例4已知关于x的方程是x2-（tanθ+i）x-（2+i）=0.

（1）若该方程有实数根，求锐角θ和实数根；

（2）證明：对于任意θ≠kπ+π2（k∈Z），该方程没有纯虚数根.

解析（1）设该方程的实数根为a，则a2-（tanθ+i）a-（2+i）=0，

即a2-atanθ-2-（a+1）i=0.

∵a，tanθ∈R，∴a2-atanθ-2=0，a+1=0，

解得a=-1，tanθ=1.

又θ为锐角，所以θ=π4.

（2）若该方程存在纯虚数根，设为bi（b∈R，b≠0），则有

（bi）2-（tanθ+i）bi-（2+i）=0，

即-b2+b-2+（-btanθ-1）i=0，

所以-b2+b-2=0，-btanθ-1=0， 易知此方程组无实数根.

综上，可知：对于任意θ≠kπ+π2（k∈Z），该方程没有纯虚数根.

评注：根据题意灵活地“设”，是本题顺利求解的切入点；根据复数相等的充要条件构建方程组，是本题进一步分析的关键.

综上，关注常用数学思想方法在解题中的灵活运用，有利于提升解题的技能技巧.