“倒数曲线”及其在高中数学解题中的应用

郭怡同

“倒数曲线”主要指的是将常见函数或者能画出图像的函数，先取其倒数然后画出图像，因而，可以将所得的图像称为原函数的“倒数曲线”.简单地说，如果从函数表达式上进行分析，其整体为倒数；但从形上进行分析，其函数图像可以依照“倒数曲线”完成.现笔者结合实际学习内容以及高中数学部分基本初等函数对“倒数曲线”进行如下分析.

一、倒数曲线形式

（一）对数函数

对数函数为y=logax（其中a>0且a≠1）的函数，当a>1时其函数图像如图1所示，设对数函数的倒数为y=1logax（a>1）.在对此函数图像进行描绘的过程中，我们应该关注到其中的关键点包括如下三点：① y正数倒数为正数，负数倒数为负数；② 当x→0+时，有y→0-，那么当x→+∞，则有y→0+；③ 由于函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），因而，函数的图像不连续，那么当x→1+时，有y→+∞，那么当x→1-，则有y→-∞.也就是说x=1为渐近线.因而，我们可以将函数y=logax（其中a>1）的倒数曲线画出，如图2所示.

（二）三角函数

在高中数学学习中，三角函数图像更是我们学习的重点.如图3所示为正弦函数y=sinx的图像.在对此函数的倒数y=1sinx的图像进行描绘的过程中，我们应该关注到其中的关键点：① 正数倒数为正数，则可知负数倒数为负数；“1”的倒数为“1”，且“-1”的倒数为“-1”；② 当sinx→0+时，有y→+∞，那么当sinx→0-，则有y=→-∞，如此其图像中便出现渐近线；③ 由于函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，因而，函数的图像不连续.因而，我们可以将函数y=sinx的倒数曲线画出，如图4所示.

（三）指数函数

指数函数为形如y=ax（其中a>0且a≠1）的函数，当a>1时其函数图像如图5所示，指数函数的倒数则为y=1ax（a>1）.在对此函数图像进行描绘的过程中，关键点包括：① “1”的倒数为“1”；② 当x→+∞时，有y→0+，那么当x→-∞，则有y→+∞；③ 由于函数y的图像不连续，因而，我们可以将函数y（其中a>1）的倒數曲线画出，如图6所示.

（四）复合型函数

对函数进行分析后就不难画出复合型函数倒数曲线，但在画出图像的过程中，我们还应该注意到当原函数值为0时，倒数曲线便会出现渐近线.因而，只有在对原函数最值进行计算后才能掌握倒数曲线关键点坐标.

二、倒数曲线的应用

“倒数曲线”在高中数学解题中占有重要的地位，在对“倒数曲线”进行学习的过程中，应该学会采用数学思想方法.数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，其知识具有较为明显的策略性.对数学思想方法的渗透，有助于我们理性数学思维能力的提高，从而提高我们对问题进行分析、解决的能力.对不同函数“倒数曲线”分析的过程，是我们进行再发现、再创造活动的探索过程.并且在对不同函数推导其“倒数曲线”图像的过程中渗透分类讨论的思想及数形结合思想，通过详细完整的分类，能够提高我们的讨论意识；而通过图形呈现的方式，有助于我们更好地理解问题的本质.

三、结束语

一部分学生在学习的过程中认为“倒数曲线”的图像分析并不重要，认为重要的是学会在解题的过程中更好地运用公式.但从对不同函数的“倒数曲线”图像分析的过程中发现，图像的分析能够显著地提高我们对不同函数图像的理解.通过图像分析，可以在学习的过程中了解数学也是一种文化，因而，在学习的过程中可以适当地了解数学史知识，从中领悟到数学的美学价值，最终提高自身的数学文化素养.除此之外，在解题的过程中能够更好地应用“倒数曲线”图像，从中能够发现问题的本质，最终提高学生学习效率.