重积分的几何意义及应用

谷佳

【摘要】重积分是定义在空间区域上的积分，是定积分的推广及发展.其中二重积分与三重积分应用最广，它们的几何意义也对今后的问题研究有重大作用.

【关键词】二重积分；三重积分；几何意义

在微积分中有两大重要计算——微分和积分两种运算，是数学学科中非常经典的互逆运算.在一元函数积分的学习过程中可以了解到，定积分是某种确定形式的和的极限，把这种和式的极限的思想推广到定义在区域上多元函数的情况，就得到重积分.

二重积分表示一种类型和式的极限Df（x，y）dσ=limλ→0∑ni=1f（ζi，ηi）Δσi，三重积分表示ωf（x，y，z）dV=limλ→0∑ni=1f（ζi，ηi，ξi）Δvi，其值均取决于被积函数的对应规则和积分区域，而与积分变量的记号无关.连续是可积的充分条件.

二者的不同点是：二重积分的被积函数是定义在平面区域D上的二元函数，而三重积分的被积函数是定义在空间区域ω上的三元函数.

一、重积分的概念

设D为Rn中可求得体积的有界闭区域.f（X）是在D上有定义的函数.将D分割成互相没有公共内点的任意N个可求得体积的闭子域D1，D2，…，DN，记此分划为Δ，以‖Δ‖表示诸Di的直径中最大者，称之为此分划的模数.任取点Xi∈Di，i=1，…，N，作和数∑Ni=1f（Xi）V（Di）.如果当‖Δ‖→0时，上述和数的极限存在，我们就说函数f（X）于闭区域D上可积，且称该极限值为f（X）在D上的（n重）积分，记为∫Df（X）dV或∫Df（X）dX或∫D…∫f（x1，…，xn）dx1…dxn，其中f（X）称为被积函数，D为积分区域.

通常的二重积分和三重积分分别表示为Df（X）dV和Df（X）dV.

二、重积分的几何意义

（一）二重积分的几何意义

设f（x，y）是二重积分的被积函数，则

（1）当f（x，y）≥0时，Df（x，y）dσ表示以曲面z=f（x，y）为曲顶，以D为底的柱体体积，或者表示为以μ=f（x，y）为平面密度的薄片D的质量.

（2）当f（x，y）<0时，二重积分是柱体体积或平面薄片质量的负值.

（3）当f（x，y）在D上的某些部分区域上是正值，而在其余的部分区域上是负值，那么，f（x，y）在D上的二重积分就是这些部分区域上的柱体体积的代数和.

例1运用二重积分的几何意义判断下例积分的值.

DR2-x2-y2dσ，D：x2+y2≤R2.

解投影区域是圆域D：x2+y2≤R2，被积函数是半球面z=R2-x2-y2，依据二重积分的几何意义，上述积分即是上半球体的体积：

DR2-x2-y2dσ=12·43πR3=23πR3.

当我们计算给定的二重积分时，也要注意选择合适的方法，如上题应用二重积分的几何意义就非常简便，但是如果依据寻常方法就会加大难度.

例如，用寻常方法解答上题：令x=rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤R，θ≤r≤2π.则DR2-x2-y2dxdy=∫R0∫2π0（R2-r2）·rdrdθ=23πR3.

（二）三重积分的几何意义

设f（x，y，z）是三重积分的被积函数，则

（1）当f（x，y，z）>0时，wf（x，y，z）dV表示体密度μ=f（x，y，z）的空间立体ω的质量.

（2）当f（x，y，z）<0时，三重积分表示立体质量的负值.

（3）当f（x，y，z）在ω上某些部分区域上是正值，而在其余的部分区域上是负值，那么，f（x，y，z）在ω上的三重積分就是这些部分区域上的立体质量的代数和.

（4）当f（x，y，z）=1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值.

（5）当f（x，y，z）≠1时，说明密度分布不均匀.

例2运用三重积分求由z=x2+y2及z=x2+y2所围成的立体的体积的值.

解用柱面坐标计算，显然两曲面的交线为

三、结论

应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量，还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等.但是若在这些问题中巧妙地运用重积分的几何意义，会使某些难以理解的问题大大简化、清楚易懂.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]马富明，高文杰，主编.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]黄立宏，主编.高等数学上册[M].上海：复旦大学出版社，2010.