积分在经济领域的几个应用

师亚萍

【摘要】本文探讨了用积分求解经济总量、资本现值及投资回收期、计算消费者剩余与生产者剩余的几个经济应用问题.

【关键词】积分；经济学；实际应用

积分是微积分学中一个非常重要的内容，是导数的逆运算，是求解非均匀变化过程中总量问题的有力工具.特别是作为一种量化分析方法，在经济领域中的应用更加广泛.下面我们探讨积分在经济领域中的几个应用.

一、由边际函数求经济总函数及经济总量

经济函数为F（x），它的边际函数为F′（x）.若已知边际函数F′（x），由微积分基本公式知

F（x）=∫F′（x）dx，F（0）=c0，

当变量x由a到b时，总函数的改变量为∫baF′（x）dx.

例1设某产品的边际收入是R′（x）=200-x200（元/年），求：①总收益函数；②生产100个单位到200个单位产品获得的收入.

解① R（x）=∫200-x200dx，R（0）=0，

则R（x）=200x-x2400.

② R（200）-R（100）=∫200100R′（x）dx=200x-x2400200100=19925.

二、计算资本现值及投资回收期

设年利率为i，每年计息m次，则n期后的复利终值为

F=P1+immn.

若某项投资P为连续复利，则有

F=limm→∞P1+immn=P·ein，

则现值P=Fein=F·e-it.

若假定收入流以每年a元进行，则在T年内的收入总现值可用定积分表示为

P=∫T0ae-itdt=-ai·e-itT0=ai（1-e-iT）.

例2若某企业给成本价格单笔投资100万元，年利率为3%，该企业在15年内可以按每年30万元均匀获得收入，试求该投资收入的总现值及净现值.

解根据条件已知，a=30，i=3%，T=5，

则收入的总现值为P=303%（1-e-15%）≈139.3（万元），

净现值为P-100=39.3（万元）.

投资回收期是指在考虑资金时间价值的情况下，每年的净收益回收项目全部投资所需要的时间，就是总收益的现值等于初始投资时所需的时间.

由ai（1-e-iT）=A，得T=1ilnaa-Ai.

例3若某企业投资A=800（万元），年利率为5%，设在20年内的均匀收入为a=200（万元/年），则投资回收期为多少？

解T=10.05ln200200-800×0.05=20ln1.25≈446（年）.

三、计算消费者剩余与生产者剩余

消费者剩余是指消费者在购买一定数量的商品时愿意支付的总价格和实际支付的总价格之间的差额.生产者剩余是指生产者销售某种商品所得到的款项与其生产成本之间的差额.设需求函数为P=f（Q），供给函数为P=g（Q），当需求与供给达到平衡时，此时的价格称为均衡价格P0，数量称为均衡数量Q0.在市场经济下，价格与数量在不断围绕均衡价格P0与均衡数量Q0进行上下调整.

则消费者剩余=∫Q 00f（Q）dQ-P0Q0，

生产者剩余=P0Q0-∫Q 00g（Q）dQ.

例4某商品市场的需求函数为Q=1003-23P，供給函数为Q=-20+10P.求市场均衡价格、均衡数量及生产者剩余与消费者剩余.

解解方程1003-23P=-20+10P，得均衡价格P0=5，均衡数量Q0=30.

消费者剩余=∫30050-32QdQ-5×30=675，

生产者剩余=5×30-∫300Q10+2dQ=45.

【参考文献】

[1]候风波.经济应用数学[M].北京：科学出版社，2011.

[2]王永祥.应用经济数学[M].上海：上海交通大学出版社，2004.

[3]陈勇.经济学中的数学模型[J].成功（教育版），2013（08）：274.