二重积分的计算与应用

黄冶文

【摘要】随着数学分析的理论和方法不断完善，数学在生活中的应用愈来愈广泛，二重积分作为数学分析的一个重要组成部分，也就发挥着越来越重要的作用价值.本文从二重积分相关的定义和定理、计算技巧、应用这三个方面来总结.对于二重积分的计算，其方法主要是通过在直角坐标系和极坐标系中把二重积分化为累次积分，又因为二重积分的计算与积分区域以及被积函数有关联，那就能根据区域的对称性和函数的奇偶性来化简其计算.本文还探讨了如何应用二重积分的性质来解决与积分相关的问题，以及二重积分在几何、力学、物理等方面的应用.

【关键词】二重积分；极坐标；积分区域；对称性；平面

一、引言

数学分析的发展起源于微积分，然后推广到了函数的连续性、可微性、可积性等各种特性.我们可以将这些特性应用于对物理世界的探究，以及自然界特征的探索.微积分理论从它起源之日起就展现了它庞大的应用活力，因而，在数学分析中，应加强微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容，特别是二重积分.我们知道二重积分是定积分的推广，因此，计算二重积分的基本方法就是把它转化成二次定积分加以计算.

二、二重积分的概念

（一）二重积分的定义

设一个定义域是在可求面积并且有界的闭区域D上的函数f（x，y），J为一个明确的数，如果对ε>0，总某个δ>0，使得对于D的分割T，再取（ξi，ηi），当细度‖T‖<δ时，属于T中所有的积分和为

例2求I=D12（4-x-y）dσ，D由直线y=x与抛物线y=x2围成.

解先画D的草图（图3）.经观察，D既可看成x型区域，也可看成y型区域.假如看作x型区域，就可以画一条穿过区域D且平行于y轴的直线，则穿入边为y=x2，穿出边为y=x.然而，D的最左边的点对应着x=0，最右边是x=1.从而，I可化为下述二次积分计算：

（二）二重积分的变量变换

1.二重积分的变量变换公式

引理设T：x=x（u，v），y=y（u，v）是一个变换，它把平面uOv上按段光滑封闭曲线围成的闭区域Δ，一对一地映为xOy平面中的闭区域D，x（u，v），y（u，v）在Δ内皆具一阶连续偏导数，它们有函数行列式

J=（x，y）（u，v）≠0，（u，v）∈Δ，

则区域D的面积

μ（D）=Δ|J（u，v）|dudv.（3.5）

定理4设f（x，y）在有界闭区域D上是可积的，平面uOv上按段光滑封闭曲线所包围的闭区域Δ被变换T：x=x（u，v），y=y（u，v），一对一地映为平面xOy上的闭区域D，x（u，v），y（u，v）在Δ内皆具一阶连续偏导数，它们的函数行列式

I的绝对值有显然的几何意义：即|I|是uOv上以Δu和Δv为边的小矩形通过映射到xOy上的曲边四边形的面积的一个缩放比极限，该极限是当Δu2+Δv2→0时的.还有，I的符号也有意义.假定取负方向是上述矩形和四边形的边界闭曲线的顺时针，正方向是逆时针，那么I>0时，小矩形和曲边四边形的边界方向一样，而I<0时，边界方向相反，也就是从正向变为负向或从负向变为正向[2].

例4根据函数组u=y2x，v=xy

把正方形S{a≤x≤a+h，b≤y≤b+h}（a>0，b>0）变换成区域S′.求S′与S的面积比.当h→0时，此比值的极限等于什么？

2.用极坐标计算二重积分

若被积函数的形式为f（x2+y2），fyx或fxy，或者积分区域在极坐标下表示的一些二重积分会更容易计算.这些一般来说都是很明确的，当积分区域形状是心脏线、玫瑰线、螺旋状，或者更一般的情况，对于任何曲线，如果它的等式在极坐标系下表示比在直角坐标系下表示更为简单，考虑的变量替换是极坐標变换，也就是在极坐标系中计算二重积分[3].

积分区域或被积函数就能采用极坐标变换为V=4∫π20dθ∫Rcosθ0R2-r2rdr

=43R3∫π20（1-sin3θ）dθ

=43R3π2-23.

例10重积分Dx2x2+y2dσ，曲线y=1x，直线y=3，x=3围成平面闭区域D.

解因为积分区域D关于直线y=x对称，得

Dx2x2+y2dσ=Dy2x2+y2dσ，

故Dx2x2+y2dσ=12Dx2x2+y2dσ+Dy2x2+y2dσ

=12Ddσ=4-ln3.

四、总结

通过以上对二重积分的计算方法的归纳总结，能够发现在这些计算之中有相当多的技巧和规律.二重积分的计算以定积分的计算为基础，它的关键是根据二重积分的性质、几何意义，以及被积函数的特征，把不同类型的题目分类以便找到相关的解题思路.我们能够利用极坐标变换、区域的对称性来达到化简积分区域或者被积函数的效果，也可以把区域的对称性与函数的奇偶性结合在一起应用到二重积分的计算中.利用二重积分的性质解决问题也是一个不可忽略的技巧，在证明定积分不等式、确定积分值符号、估算积分值中显得尤为重要.同时，二重积分的应用范围也十分广泛，可以用来解决几何、物理、力学等方面的问题，而且在物理学、天文学、经济学、几何学等学科的发展中起到了重大作用.

【参考文献】

[1]Courant R.Introduction to Calculus and Analysis II/1[M].北京：世界图书出版公司北京公司，2007.

[2]谢惠民，沐定夷.吉米多维奇数学分析习题集学习指引[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]Howard Anton，Irl Brivens，Stephen Davis.微积分[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]赵焕光，林长胜.数学分析[M].成都：四川大学出版社，2006.

[5]徐小湛.对称性在积分计算中的应用[D].成都：四川大学，2001：24-27.