基于动态降阶模型的电力系统非线性电压预测控制

兰晓明，王颖，赵洪山，米增强

(1．华北电力大学电气与电子工程学院，河北省保定市071003; 2．国网河北省电力公司经济技术研究院，石家庄市050021)

基于动态降阶模型的电力系统非线性电压预测控制

兰晓明1，王颖2，赵洪山1，米增强1

(1．华北电力大学电气与电子工程学院，河北省保定市071003; 2．国网河北省电力公司经济技术研究院，石家庄市050021)

传统电压控制多采用潮流方程，电压可能在到达事故后稳定运行点前的过渡过程中失稳，因此基于系统的动态模型进行电力系统电压控制十分必要。该文提出了一种基于动态降阶模型的非线性电压预测控制方法。为降低优化计算时间，结合电力系统的特点对经验Gramian平衡降阶方法加以改进，并应用改进的经验Gramian平衡降阶方法降低电力系统非线性动态模型的维数。为提高模型计算精度和数值稳定性，提出使用4阶收敛的Adams法替代欧拉法进行状态预测，建立基于降阶模型的多步预测－滚动优化模型。此外，在模型求解过程中使用温启动方法和较小的迭代次数限值Nmax来减少迭代次数。以New England 10机39节点电力系统对所提出的方法进行验证。结果表明，所提出的方法能够提高预测模型的数值稳定性，极大地降低模型求解时间，有利于提前响应系统中可预测的动态变化，维持系统电压稳定。

电力系统;电压控制;动态模型;模型预测控制(MPC);模型降阶

0 引言

随着国民经济的快速发展及电网规模的不断扩大，电网电压稳定问题已成为影响电力系统安全的核心问题之一［1-3］。传统电压控制多基于潮流方程。这种控制模式下，只有处于事故后稳定运行点时，系统才满足电压特性约束。若干扰严重，电压可能会在到达事故后稳定运行点前失去稳定。因此，基于动态模型式中为经验Gramian平衡降阶模型的状态量。

根据样本数据形成有效的经验Gramian矩阵是经验Gramian平衡降阶方法的核心，对降阶效果有着很大影响。结合研究对象特点使样本数据尽可能多地包含非线性模型的动态行为，形成更加有效的经验Gramian矩阵，对获得精度合理的降阶模型具有重要意义，是该方法应用的研究重点。

然而在经验Gramian矩阵定义［14］中，只说明了可以通过对非线性模型状态量和控制量施加不同方向扰动的方式进行仿真试验以获取样本数据，但并未就各方向扰动量的取值方法作详细说明。

在非线性电力系统中，各类扰动的施加及恢复往往以改变网络结构或负荷相关参数的形式来实现。例如，短路故障出现、故障隔离、重合闸恢复供电;负荷突然增减、负荷恢复正常值等。扰动施加后，系统在控制器或恒定控制作用下逐渐恢复稳态。从非线性微分代数方程的角度看，这是通过改变式(5)中函数f、g、h来实现的。但在经验Gramian矩阵形成过程中，扰动是分别逐一施加在状态量和控制量上的，与电力系统施加扰动的方法不同。这是由Gramian平衡降阶方法考虑降阶模型保持原模型动态行为和输入、输出特性的要求所决定的。因此，无法将电力系统各类扰动的施加方法移植到基于经验Gramian平衡降阶的扰动模拟中。

由上述分析可以看出，要在电力系统中应用经验Gramian平衡降阶方法，扰动量的取值必须考虑电力系统状态量和控制量的变化特点，否则很难从样本数据中提取出系统输入、输出动态行为变化的特征。因此，本文针对这一问题结合电力系统特点提出一种施加扰动的方案。扰动施加方案的具体步骤如下详述。

(1)结合所研究问题及相关标准，明确降阶对象各类状态量和控制量的合理变化范围，使扰动量取值符合电力系统基本运行要求。例如，发电机励磁电压最大值和最小值、发电机频率的最大值和最小值、电压设定值Ugref和Usref的变化幅度等。

(2)加入控制器后，对降阶对象进行各类扰动的仿真。例如在线路上设置各类短路故障等。记录在每类故障下，各线路的状态量和控制量相对稳态值的正、负最大偏移量，形成状态量、控制量、扰动量取值的参考数据。经验Gramian平衡降阶模型需反映出电力系统在各类故障下的动态行为，但由于无法将电力系统各类扰动的施加方法移植于经验Gramian平衡降阶中。因此，采用上述方法能够在一定程度上结合电力系统特点丰富样本数据中系统的动态信息，以取得良好的降阶效果。

(3)结合所形成的参考数据确定扰动量取值。考虑到电力系统状态量和控制量的物理意义和变化范围，以及经验Gramian平衡降阶方法正、负两方向扰动值相同的特点，扰动量取值叠加至对应状态量或控制量后，需保证正、负两方向的取值不超过对应量的变化范围。

值得注意的是，由于经验Gramian矩阵计算要求降阶对象最终恢复至稳态，因此在扰动仿真过程中，必须确保降阶对象最终能够恢复至稳态。若出现降阶对象由于某个扰动值选取过大造成无法恢复稳态的情况，则需要调整扰动值。

(4)完成对降阶对象状态量和控制量逐一施加正、负方向扰动仿真后，需要确定采样时间、采集时长并采集仿真数据。

为增加针对性，上述经验Gramian矩阵形成方案考虑了电力系统的特点，有利于形成精度合理的降阶模型。由于非线性Gramian平衡降阶方法是一种通过样本数据提取系统动态行为特征的经验方法，使用者在形成样本数据前需要考虑降阶对象的动态特点，在不破坏系统稳定的情况下尽可能多地丰富数据包含的动态信息，这样才能获得满足精度要求的降阶模型。

2 多步预测－滚动优化模型

2.1 Adams状态预测

在多步预测、滚动优化模型被提出前，1阶收敛的欧拉法广泛应用于状态预测。然而，电力系统电压预测模型可能会呈现刚性，欧拉法的收敛性和稳定性较差，计算精度低，因此需采用高阶收敛的隐式方法。本文使用一种隐式线性多步法—4阶Adams隐式方法进行状态预测［15］。式(5)对应的状态预测公式为

式中Th为预测步长。

相比4阶单步收敛方法(如龙格库塔法等)，4阶Adams隐式方法能够使用历史采样信息，每步因提高预测模型精度而增加的计算量较少，且应用式(6)进行预测时，相邻预测步间的计算结果能够重复使用。

2.2滚动优化

基于式(5)，以未来时间窗内电压与参考轨迹偏移以及系统状态量、控制量的最小二乘残差向量三者之和最小为目标函数，考虑其他约束条件构建多步预测、滚动优化模型。优化模型的目标函数为

优化模型的约束条件为

式中:p为预测步数，p=Tp/Th，其中Tp为预测时域;为权重X下的2范数;分别为状态量、控制量和代数量预测值;分别为状态量、控制量和代数量的上限;分别为状态量、控制量和代数量的下限;Uopf，ref为电压参考轨迹;模型中的等式约束条件为式(5)基于Adams法进行状态预测的表达形式。

该模型的优化变量为

在时刻t，基于动态模型的非线性电压预测控制的过程为:(1)获取状态量、控制量和代数量的采样信息;(2)确定当前时刻待解的优化问题和优化变量的迭代初值;(3)应用内点数值算法［16］，求解优化问题;(4)取最优解中的第1步全局最优控制值，即电压设定值，作为预测控制器的输出，实施闭环控制。待下一次优化计算的时刻t+1，重复上述过程，实现滚动优化。

3 温启动及较少的迭代次数设置

在内点法求解过程中，本文应用温启动技术减少内点法迭代次数［17］。设相邻两次实施预测控制的时刻为时刻t－1和时刻t。在时刻t－1，取最优解中的第一步全局最优控制值作为该时刻的预测控制器输出，中其他优化变量的最优值可作为下一时刻优化计算的迭代初值;在时刻t，在应用内点法求解该时刻对应的优化问题前，可根据时刻t－1的优化结果确定优化变量的迭代初值可表示为:

内点法迭代终止条件为对偶间隙足够小或迭代次数达到最大值Nmax。一般情况下，Nmax的设置目的只是在优化模型无法收敛时防止出现死循环的情况。其取值为50［15］，对仿真结果的影响较小。若优化模型收敛，对偶间隙足够小就可以作为迭代终止条件，几乎不会使用到迭代次数达到最大值Nmax的迭代终止条件，并且实际计算终止时，迭代次数一般也远小于Nmax。

为进一步减少内点法求解时间，本文在使用温启动技术的基础上，将Nmax取值范围压缩为5～10，使其接近迭代终止条件为对偶间隙足够小时的迭代次数。上述操作可能会引发如下情况:对偶间隙还未达到误差允许范围，迭代次数已经达到Nmax，迭代终止。作者认为上述情况的迭代结果也可以用于模型预测控制中。一方面，温启动技术保证了所有优化变量初值均满足约束条件，即便迭代过程因迭代次数达到Nmax而终止，此时优化变量的取值也满足约束条件，且与最优解相差不大;另一方面，时刻t优化计算完成后，MPC仅取结果中的第1步控制量的值ut实施闭环控制，其多步预测－滚动优化技术能够保证ut不会对系统未来动态行为产生不利影响。因此，在温启动技术的基础上，选取对偶间隙足够小或较小的Nmax作为迭代终止条件是合理且可行的。

4 仿真分析

New England 10机39节点系统包含10台发电机，46条线路，如图1所示。以New England 10机39节点系统为算例进行仿真分析，对所提出方法的有效性进行验证。为考虑负荷自恢复及电动机的动态特性，采用如下负荷模型:节点3、4、7、8、18、20、21、26、27接指数恢复型负荷模型;其他每个负荷节点均接40%的恒阻抗和60%的感应电动机负荷模型。在母线12、20、24、27处装设容量依次为100 MV·A、100 MV·A、150 MV·A、150 MV·A的SVC。最终所形成系统的动态模型阶数为90阶。

图1 NewEngland10机39节点系统Fig.1 NewEngland10-generator39-bustestsystem

4.1模型降阶分析

分别采用以下2种方案对系统动态模型进行降阶分析:方案1采用文中1.2节所提的扰动施加方案;方案2中各状态量扰动值为所对应初始稳态值的1%。

上述2种方案在仿真采样过程中，系统均能够维持稳定。方案1、2所对应平衡系统的前30个Hankel奇异值柱状图分别如图2、3所示。由于奇异值幅值过小，奇异值序号大于30的情形未在图中显示。

图2 方案1下的Hankel奇异值Fig.2 Hankelsingularvaluesunderscheme1

图3 方案2下的Hankel奇异值Fig.3 Hankelsingularvaluesunderscheme2

由图2、3可见，方案1中奇异值衰减明显，且衰减幅度较大，奇异值分布合理。从奇异值分布上看，取相同的输出误差上界，方案1降阶程度更大;在相同降阶阶数下，方案1降阶效果更好。图2中，前5个奇异值集合所含能量占总能量的85.62%;前14个奇异值集合所含能量占总能量的99.14%。考虑模型阶数及精度两方面因素，可将90阶的电压预测模型降为14阶模型，并基于降阶模型研究预测控制问题。

4.2预测控制分析

4.2.1 控制性能分析

仿真场景设置如下:系统在0～5.1 s内正常运行;t=5.1 s时，所有负荷节点的负荷以10%/s的速度持续指数增长;在t=15 s时，所有负荷停止增加; t=30 s时，系统仿真结束。欧拉法的状态预测下，基于90阶模型的电压预测控制仿真曲线如图4所示; Adams法状态预测下，基于90阶模型的电压预测控制的仿真曲线如图5所示;Adams状态预测下，基于14阶的降阶模型的电压预测控制仿真曲线如图6所示。上述仿真中，所用电压预测控制方法的参数如下:Th=2 s，p=4，TC=8 s，其中TC为控制时域。

如图4所示，在传统电压预测控制下，在负荷开始增长的一段时间内，由于发电机和负荷电压设定值得到及时调整，母线电压的下降程度均在可接受范围内。但欧拉法状态预测精度低，使得发电机和负荷电压设定值的调整不够精细，负荷及发电机母线电压波动明显。有部分发电机和负荷母线电压下降严重。

如图5所示，基于动态模型的电压预测控制能够根据系统未来时间窗内的动态行为变化趋势，及时调整发电机和负荷的电压设定值，进而实现全局电压的最优控制。相比图4，在34号机组励磁电压到达上限之前，电压预测控制器及时上调相邻机组(33号等机组)的电压设定值来支援34号机组，故其母线电压并未出现持续迅速下降。此外，其他发电机和负荷母线电压波动及其稳定值均在合理范围内，电压恢复水平高于图4。

图4 欧拉状态预测下基于90阶模型的电压预测控制的仿真曲线Fig.4 Simulatedcurveswithvoltagepredictivecontrol basedon90-ordermodelunderEulerstateprediction

基于动态模型的电压非线性预测控制方法能够提前响应系统可预见的变化，精细化地调节电压水平，保证电网安全、稳定运行。相比基于欧拉法的状态预测，Adams状态预测提高了模型计算精度。

图5 Adams状态预测下基于90阶模型的电压预测控制的仿真曲线Fig.5 Simulatedcurveswithvoltagepredictivecontrol basedon90-ordermodelunderAdamsstateprediction

如图6所示，在基于14阶降阶模型的电压预测控制下，系统各母线电压最终恢复至稳定状态，其波动过程及稳定值均在合理范围内。虽然与基于原模型的电压预测控制效果存在一定的差异，但两者是非常接近的。由此可见，经验Gramian降阶方法能够保留原模型的稳定性和全局动态行为，所提出的基于降阶模型的电压非线性预测控制是可行的。

图6 Adams状态预测下基于14阶降阶模型的电压预测控制仿真曲线Fig.6 Simulatedcurveswithvoltagepredictivecontrol basedon14-orderreductionmodelunder Adamsstateprediction

4.2.2 求解时间分析

在所设置场景下，基于原90阶模型与基于14阶降阶模型的电压预测控制优化问题的复杂度及求解时间分别见表1、2。采用表1、2中参数的预测控制下，系统各母线电压能够维持稳定，母线电压波动过程及稳定值均在合理范围内。

设O为优化问题的复杂度。O的计算式为

式中:O为优化问题的复杂度;mp，i为预测步数为p，模型阶数为i时的优化问题所含约束条件个数;m5，90为预测步数为5时，90阶模型优化问题所含约束条件个数。

表1 优化问题的复杂度Table1 Complexityofoptimizationproblem

设η为选定的预测步数下，基于14阶模型相对于基于90阶模型进行优化问题求解所节省时间与基于90阶模型求解时间之比，见表2所示。

表2 优化问题的求解时间Table2 Solving-timeofoptimizationproblem

不难看出，随着预测步数的增加，电压预测控制优化问题的复杂度和求解时间逐渐增加。基于14阶降阶模型的电压预测控制能够降低优化问题的复杂度，相比原预测模型所对应优化问题，求解时间降幅可达40%以上。因此，基于动态降阶模型的电力系统非线性电压预测控制极大地提高了优化问题的求解效率，同时具有低预测步数的计算复杂度和高预测步数的控制性能。

5 结论

本文提出一种基于动态降阶模型的电力系统非线性电压预测控制方法。结合电力系统的特点改进经验Gramian平衡降阶方法，并应用改进的经验Gramian平衡降阶方法降低电力系统非线性动态模型的维数。使用4阶收敛的Adams法提高模型计算精度和数值稳定性。采用内点法求解多步预测－滚动优化问题，使用温启动法和较小的迭代次数限值Nmax减少优化计算迭代次数。通过算例仿真验证了所提出方法的可行性和有效性。

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(编辑 郭文瑞)

Nonlinear Voltage Prediction Control of Power System Based on Dynamic Reduced Model

LAN Xiaoming1，WANG Ying2，ZHAO Hongshan1，MI Zengqiang1

(1．School of Electrical and Electronics Engineering North China Electric Power University，Baoding 071003，Hebei Province，China;2．Economic and Technology Research Institute，State Grid Electric Power Company of Hebei Province，Shijiazhuang 050021，China)

Due to the use of power flow equation in tradition voltage control，the voltages may lose its stability in the transition process form the failure to the stable operating point．Itis necessary to consider dynamic modelof power system in voltage study．This paper presents a nonlinear voltage predictive control method based on dynamic reduced model．In order to decrease the optimal calculating time，the improved empirical Gramian balance reduction method based on the features of power system is applied to reduce the order of power system nonlinear dynamic model．In order to improve the accuracy and numerical stability of predictive model，this paper uses a 4-order convergent Adams method instead of Euler method to predictive state values，and develops a multi-step prediction and rolling optimization model based on reduced model．In addition，the warm start technique and a small iterative times limit Nmaxare used to decrease the iterative times in the solving process．The New England 10-generator and 39-bus power system is simulated to test the performance of the proposed method．The simulation results show that this method can not only increase the predictive model numerical stability and decrease the optimal-timing greatly，but also respond the predictable dynamic change of the system in advance to keep voltage stable．

power system;voltage control;dynamic model;model predictive control(MPC);model reduction

TM 74

A

1000－7229(2017)03－0034－08

10.3969/j．issn.1000－7229.2017.03.005

2016-10-11

兰晓明(1987)，男，博士研究生，本文通信作者，主要从事电力系统动态模型以及非线性预测控制算法等方面的研究工作;

王颖(1975)，女，硕士，高级工程师，主要从事电网规划等方面的研究工作;

赵洪山(1965)，男，教授，主要从事电力系统混杂建模、动态分析与控制以及电力系统优化计算等方面的研究工作;

米增强(1960)，男，教授，博士生导师，主要从事风电场建模与接入系统分析、风电场监控系统、风电场发电功率预测等方面的研究工作。

国家自然科学基金项目(51077053)

Project supported by National Natural Science Foundation of China (51077053)