复习路上“对称”与你有约

浙江省兰溪市第一中学高三(1)班(321102) 李汇宇 ● 指导老师:张永华

复习路上“对称”与你有约

浙江省兰溪市第一中学高三(1)班(321102) 李汇宇 ● 指导老师:张永华

图象是轴对称或中心对称的函数，其解析式都有特别地方，可以从其解析式入手，找到解题的突破口．无论是告知具体解析式还是抽象式，都是解题的着力点．收集的竞赛题和高考题都有一定的代表性，对解题有很好的指导意义．

对称;函数;函数抽象式

在生活当中，具有轴对称和中心对称的图形都给人以美感，这也是初中教材中比较重要的知识点，如等腰三角形和平行四边形，同学们也会从几何角度予以证明与计算．但在高中数学中，所接触的轴对称和中心对称很少以图形(除圆与圆锥曲线外)呈现，更多的是以函数解析式出现，特别是委婉告知抽象函数表达式，令很多同学无从下手．笔者在一轮复习过程中，接触到一些比较典型的题目，收集整理如下，供读者参考．

一、直接告知型

尽管题目直接告知对称轴是什么，但也并非像抛物线对称轴一样运用自如，如果仅停留在这一层面，就无法深入解决，因为轴对称图形并非只有抛物线一种，还有一些不知名的函数图象．所以要挖掘隐条件，找到更深更隐的等量关系，从而解决问题．

例1 (2006年全国高中数学联赛吉林省预赛题)已知函数f(x)=sinx+acosx的图象关于对称，则函数g(x)=asinx+cosx的图象的一条对称轴是( )．

解析 法一 因为函数f(x)=sinx+acosx的图象关于对称，所以函数在取到最值，从而有，化简整理得，

法二 因为函数f(x)=sinx+acosx的图象关于x=对称，所以函数在取到最值，也即有极值，可考虑用导数解决.，得求g(x)=asinx+cosx的图象的一条对称轴，实质就是求极值点，令易知它的一条对称轴是:

例2 (2013年高考新课标1卷理科)若函数f(x)= (1－x2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=－2对称，则f(x)的最大值是

解析 因为函数f(x)=(1－x2)(x2+ax+b)的两个零点是－1和1，若图象关于直线x=－2对称，必有零点－3和－5，结合已知(x2+ax+b)是二次项，所以函数f(x)的解析式为f(x)=(1－x2)(x2+8x+15)=－x4－8x3－14x2+8x+15．

求导数，得f'(x)=－4x3－24x2－28x+8．

二、间接告知型

题目中一字不提对称，但却和对称性脱不了干系，实质难度更大，我们必须有更扎实的基础知识才能以不变应万变．

例4 (2013年新课标Ⅱ卷数学理)已知函数f(x)= x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的( )．

A．x0∈R，f(x0)=0

B．函数y=f(x)的图象是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减

D．若x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0

解析 若c=0则有f(0)=0，所以A正确．由f(x)= x3+ax2+bx+c，求导得，f'(x)=3x2+2ax+b，再令f'(x)＞0，f'(x)＜0，无论不等式有解无解，都不影响其对称性(如图1－4)，其对称中心横坐标就是二阶导数为零时的x值，即f″(x)=0，所以中心对称点就是(，，其实也就是拐点．这样看来，一般三次函数图象均为中心对称图象，所以B正确．由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x0)单调递减是错误的，D正确．故选C．

例5 设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为 p和 q，设函数 f(x)=(x+p)(x+q)+2，则( )．

解析 因为方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2= 0的根分别为函数y=2x，y=log2x与直线y=－x－2的交点横坐标，而函数y=2x，y=log2x互为反函数，其图象关于y=x对称，又直线y=－x－2与直线y=x垂直，且两直线的交点坐标为(－1，－1)，所以p+q=－2，则f(x) =x2+(p+q)x+pq+2=x2－2x+pq+2，该二次函数图象的对称轴为x=1，从而f(2)=f(0)＜f(3)．故选A．

三、综合抽象型

这种题型就是文首提及的以抽象函数形式告知，老师在课堂上经常提及的，如(1)f(a－x)=f(a+x)图象关于x=a轴对称;

当a=0，b=0时，上两式就是偶、奇函数的代数形式，所以说明奇偶函数是所在位置比较特殊的对称图形，有很多一下看不透的问题就是在奇偶函数基础上经过平移产生，混淆学生视线，导致无从下手．

例6 (2013年上海市春季高考数学试卷)已知真命题:“函数y=f(x)的图像关于点P(a、b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)－b是奇函数”．

(1)将函数g(x)=x3－3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g(x)图像对称中心的坐标;

(3)已知命题:“函数 y=f(x)的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y =f(x+a)－b是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明;如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明)．

(1)平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3－3 (x+1)2+2，整理得y=x3－3x．由于函数y=x3－3x是奇函数，由题设真命题知，函数g(x)图象对称中心的坐标是(1，－2)．

(3)此命题是假命题．

举反例说明:函数f(x)=x的图象关于直线y=－x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f(x+a)－b，即y=x+a－b总不是偶函数．修改后的真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f(x+a)是偶函数”．

［1］王红权．含绝对值的不等式问题复习研究［J］．中学教研(数学)，2016(12):34

［2］章建跃．如何设计三次函数的高考复习［J］．中小学数学，2016(1－2):封底

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