不等式恒成立问题的解题技巧分析

湖北省水果湖高级中学(430071)

邱俊逸●

不等式恒成立问题的解题技巧分析

湖北省水果湖高级中学(430071)

邱俊逸●

不等式是高中数学中的重要内容之一，其中又以不等式恒成立问题最为重要.它在众多的知识板块均有着广泛的运用，是处理问题的常用方法之一.近年来，不等式恒成立问题已逐渐成为了高考数学的热门考点，因此，本文着重对不等式恒成立问题的解题技巧进行了分析.

不等式恒成立;解题技巧;高中数学

近年来，不等式恒成立问题逐渐成为了高考数学的热门考点.其题型灵活多变，又常常出现在考高的压轴题型中，因此，不等式恒成立问题常常让很多同学在考场中心生畏惧，成为高中数学学习的一个瓶颈.因此，现结合自身学习经验，对不等式恒成立问题的解题技巧进行了简要探讨，希望对一些同学解题能力的提升有所助力.

一、变量转换

变量转换法在不等式恒成立问题中十分常见，其主要用于参数和变量相结合的问题，在这类问题中，我们可以根据具体的题设条件，将参数和变量相互转换，从而达到简化解题过程中的目的.

分析 本题是一道典型的含参变量的问题，若按照常见方法进行求解，则需对a在a=0和a≠0两种不同的情况下展开讨论.当a≠0时，又涉及到二次函数的相关知识点，从而使解题过程变得复杂.但如果转换变量，将x看成参数，a看成变量，这样就将二次函数变为一次函数，从而起到简化解题过程的目的.

点评 在涉及到此类含有两个字母的不等式恒成立问题中，且其中一字母取值范围已经告知的情况下，可通过变量转换的方法，将函数进行改写，从而实现对讨论函数的简化，可快速对问题进行求解.

二、巧用函数性质

函数性质是对函数特征的具体表征，因此，其常常结合不等式恒成立问题来设计题目.遇到这类问题时，可以结合函数的性质展开讨论，例如将不等式问题转化为函数的最值问题，这样一来就能使解题思路更加清晰.

例2 已知在函数f(x)=x3+ax+x+3中，a为实数，如果f(x)在区间(-2/3，-1/3)内为单调减函数，试求a的取值范围.

分析 该题已告知自变量的范围，因此，学生在解题过程中只需考虑对变量进行讨论，同时要注意二次函数的零点分布问题以及函数的一些特殊点，这样一来，就能使问题得到简化.

解 因为函数f(x)=x3+ax+x+3在区间(-2/3，-1/3)内是减函数，所以在区间(-2/3，-1/3)内，对函数求导，则有：f′(x)=3x2+2ax+1≤0恒成立.

点评 在此类不等式恒成立问题中，首先要熟悉函数的相关性质，再结合函数的性质，进行求解，可使解题思路更加清晰，同时要注意函数在区间内的分布情况.

三、分离参数

在不等式恒成立问题中，常常出现一个已知范围的变量和一个需要求解范围的变量，这时可以先将需要求解的变量作为参数，已知范围的参量作为变量，再对方程进行恒等变形，最后将问题转化成为与函数最值相比较的问题.如将参数分离为：a>f(x)或者a

分析 由题设条件可知，h与f均为未知量，且其中f的取值范围已告知，所以，可将h看做参数，f作为变量，然后将h与f进行分离，构造关于f的函数表达式，进而可求出h的取值范围.

令G(f)=(f2-2f)/(f-lnf)，对G(x)进行求导，利用函数导数性质，求出其最小值，从而可解出h的取值范围为：h≤-1.

点评 参数分离在不等式恒成立问题中较为常用，其目的是实现对参数的分离，从而将问题回归到对函数讨论的本质上来，可实现对解题过程的清晰化.但在进行恒等变形的时，需要注意符号的变化情况，且注意对可能存在的情况进行分类讨论.

[1]吴永贵.高中数学不等式恒成立问题的解题思路分析[J].科学中国人,2016,12:342.

[2]龚小霞.关于高中数学不等式恒成立问题的解题方法分析[J].数理化解题研究,2015,19:9.

[3]郭喜红.高中数学不等式恒成立问题的解题思路研究[J].数理化解题研究(高中版),2013,12:22.

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