浅谈构造法在高中数学解题中的应用

甘肃省礼县实验中学(742200)

冯旭明●

浅谈构造法在高中数学解题中的应用

甘肃省礼县实验中学(742200)

冯旭明●

构造法是数学中一种创造性和技巧性的思维方法，在数学解题中有着重要的作用，尤其是形式复杂，难以解决的问题，需要认真的观察，深入分析，从问题的不同侧面，不同角度，分析条件和结论之间的联系，恰当地构造辅助元素(构造辅助元素可以是图形、函数、方程、数列等)，改变问题的形式，使解题另辟蹊径.下面通过举例说明构造法在数学解题中的应用

一、构造图形

分析 左端形式可看作点到原点的距离公式，右端可以看成两点间的距离，根据式子特点可构造三角形.

例2 已知a、b、c、a1、b1、c1∈(0,+∞)，且a+a1=b+b1=c+c1=k.求证:ab1+bc1+ca1

分析 此题可把ab1、bc1、ca1看成三个矩形的面积,k2可以看成边长为k的正方形的面积,利用面积关系进行证明.

证明 如图2所示 ,正方形ABCD的边长为k.

∵S1=ab1,S2=bc1,S3=ca1，

S1+S2+S3+S4=k2，

∴S1+S2+S3

即ab1+bc1+ca1

二、构造函数

分析 已知条件中给出了三个数的范围，而求的是ab+bc+ac的范围，可将它看成单元函数.

证明 设f(a)=ab+bc+ca=(b+c)a+bc.

当(b+c)=0时，f(a)=bc=-b2.

三、构造方程

例5 已知实数a、b、c满足a=6-b,c2=ab-9，求解a,b,c的值.

分析 由于题目条件中有a+b与ab，联想到一元二次方程根与系数的关系，因此构造方程求解.

解 ∵a=6-b,c2=ab-9,∴a+b=6,ab=c2+9.所以构造方程x2-6x+c2+9=0.其中a、b是该方程的两个根.x2-6x+c2+9=(x-3)2+c2=0得x=3,c=0,因此a=b=3,c=0.

四、构造数列

分析 对于某些关于自然数n的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造数列加以解决.

五、构造抽屉

从以上各例可以看出，构造法需要丰富的知识经验为基础，较强的观察能力和创造能力.体现了数学中发现、类比、化归的思想.运用构造法解解决数学问题从中感受数学的乐趣，更重要的是还可以开拓思维空间，启迪智慧，对培养学生多元化思维和创新精神有很大的帮助.

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1008-0333(2017)07-0037-01