试论高中数学竞赛解题技巧

山西省芮城县芮城中学(044600)

刘书宁●

试论高中数学竞赛解题技巧

山西省芮城县芮城中学(044600)

刘书宁●

在高中数学学习中数学竞赛发挥着重要的补充效用，对竞赛解题思想和技巧的探讨是数学学习一个重要内容.本文从高中学生数学竞赛解题技巧的重要性出发，从解题思维和命题解析两个方面探讨具体的解题技巧.

高中数学；竞赛；解题技巧

一、高中学生数学竞赛解题的重要性

在准备参加全国数学联赛过程中，我感觉到我同大多数同学一样，对数学竞赛存在畏难、畏惧心理.只有更科学地改进和创新既有的数学学习方式和方法，更好地掌握高中数学竞赛解题技巧，以便更好地把抽象性概念转变成个人理解和数学思维，进而促进我们分析和解决实际问题的能力，实现高中数学学习思维的协调、全面发展.

二、高中数学竞赛解题技巧解析

1.命题解析之演绎深化

对于竞赛数学题目，要想快而准地解答，首要任务就是对命题进行解析，以明确问题，明晰条件，为解题奠定基础.演绎深化是对竞赛数学题目分析的重要方法.其定义就是以一般性、常规性且正确的基本问题作为出发点，基于逻辑思维循序渐进地演绎和深化数学竞赛题目.和传统解题技巧是相反的，是基于逻辑来分析和掌握问题实质，即从定理、图形、公式、具体问题等，自浅入深逐步演绎深化出新问题.有诸多数学解题技巧，比如：数形结合、联想类比等，均可自反向应用到该技巧中.

注:本题通过演绎配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开.

2.解题策略之局部思维

(1)分解成多个局部

高中数学竞赛中有诸多综合性题目，因题目相对复杂无法直接解出答案，而需要把具体问题分解成多个部分，再逐一解决进而对整个问题进行有效解决.但是要指出的是，局部问题之间存在一定的独立性或者递进性，所以在解决局部问题过程中，必须准确、妥善处理相互间的关系，进而才可确保解题思路的正确.

例2 假设n(>4)是一个给定整数，且x1，x2，x3,…,xn∈[0，1]，请证明：

(2)反证法

反证法是高中数学中常用的解题方法，其基本思想就是先提出一个和命题结论完全相反的假设，再通过既有公式、定理等进行一系列正确、严密的推理，由此得到新结论，而该结论或和既定条件矛盾，或和既定结论相矛盾，那么该结论就是正确的.此方法是高中竞赛解题中常用的方法，能够迅速明确命题中心内容，找准切入点.应用此方法的步骤有三个：反设；归谬；结论.其中，反设是最为基本的，归谬是关键.此方法应用推导过程无固定方式，但必须基于反设进行，要不然推导就失去意义.在推导中必须做到严谨，所得到的矛盾有这几种情况：一是和命题已知条件相矛盾；二是和既有定理公式矛盾；三是和反设相矛盾；四是自相矛盾.

例3 在一次国际数学研讨大会上有9名数学家做到一起，发现其中任意3个，最少2个可用一种语言交流.假如每名数学家至少会3种语言，那么请证明这9名数学家中，至少有3名能有一种语言进行交流.

解析 可先假定不存在三个人能够说相同一种语言，那么每种语言最多有2人会说，进而每个人用一种语言最多可和另一人交流.

假设9名数学家分别为M1，M2，M3，…，M9，那么自M1最多能够说3种语言，所以最少把和另外5个人，可设是M2，M3，M4，M5，M6不能进行交流，同时又因为M2也最多会3种语言，所以其至少和M3、M4，M5，M6中的任何一个人不能交流，可假设是M3，那么M1，M2，M3三个人相互间无法交流，而这和题设是相矛盾的，因此原来的结论是正确的.

总而言之，高中数学竞赛解题过程，蕴含着重要的数学思想方法，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法.

[1] 陈小莹,陈宇.一道2014年波罗地海数学奥林匹克不等式的推广[J]. 中学数学研究，2015(11)

[2] 王慧兴.数学奥林匹克训练题(196)[J]. 中等数学，2015(10)

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