关注导数与其他知识的交汇

陕西省西安市临潼区马额中学(710609)

童永奇●

关注导数与其他知识的交汇

陕西省西安市临潼区马额中学(710609)

童永奇●

类型一、导数与“函数奇偶性”的交汇

评注 为了实现函数奇偶性的相互转化，灵活运用可导奇偶函数的导数特征性质：(1)可导奇函数的导数是偶函数；(2)可导偶函数的导数是奇函数.

类型二、导数与“三角函数最值”的交汇

例2 设当x=θ时，函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=____．

评注 一般地，设函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，则结合函数f(x)的图象易知：若x=x0时函数f(x)取得最值，则函数f(x)在x=x0处的切线斜率为零，即f′(x0)=0.这个结论充分揭示了三角函数的最值与导数的紧密联系.

类型三、导数与“函数零点”的交汇

A.0 B.1 C.2 D.3

解析 求导得f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2016，可知：当x=-1时，f′(x)>0；

评注 本题具有一定的综合性，对能力的考查较强，解题关键是灵活利用“分类与整合思想”准确分析导数与零的大小关系.

类型四、导数与“数列最值项”的交汇

评注 当数列的通项公式所对应的函数的单调性复杂而较难判定时，需要借助导数来判定．本题中函数f(x)=x1/x的求导公式未知，只不过知道(xα)′=αxα-1(α为常数)，(ax)′=axlna(a>0且a≠1)，于是需要先对函数解析式做适当变形，再求导．

类型五、导数与“圆锥曲线最值问题”的交汇

解析 设点M(x,y)，则因为抛物线的准线为x=-1，所以结合抛物线的定义即得

评注 本题设出动点M的坐标，有利于将目标问题等价转化为求函数的最大值——可利用“导数法”(已给出)，还可利用“换元、配方法”

(提示：令t=x+1).

类型六、导数与“二项式求和问题”的交汇

例6(2016·天星预测卷)已知(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a99x99+a100x100(x∈R)，则a1+22a2+32a3+…+992a99+1002a100=( ).

A.10000 B.-10000 C.9800 D.-9800

解析 设函数f(x)=(2-x)100，则f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a99x99+a100x100，求导得f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+99a99x98+100a100x99，

两边乘以x得xf′(x)=a1x+2a2x2+3a3x3+…+99a99x99+100a100x100，

两边求导得f′(x)+xf″(x)=a1+22a2x+32a3x2+…+992a99x98+1002a100x99.

又注意到f′(x)=-100(2-x)99，f″(x)=100×99×(2-x)98.

故取x=1，即得a1+22a2+32a3+…+992a99+1002a100=f′(1)+f″(1)=-100+100×99=9800.

评注 本题较难，对考生分析、解决问题的能力提出了较高的要求.解题关键：先构造函数，再充分利用“求导”思想及“赋值”技巧加以灵活处理.

类型七、导数与“不等式中比较大小”的交汇

作差得：

构造函数g(a)=ea(b-a+2)+eb(b-a-2)，则g′(a)=ea(b-a+1)-eb.

因为g″(a)=ea(b-a)>0，所以函数g'(a)在R上单调递增.

于是，由a

从而，由ag(b)=0，即ea(b-a+2)+eb(b-a-2)>0.

评注 上述求解的关键是将b看作“常量”，灵活地构造以a为变量的函数，充分利用函数的单调性比较大小.

综上，关注导数与其他知识的交汇，有利于从导数角度看透问题的本质，进一步加深理解与认识，且学且悟！

G632

B

1008-0333(2017)07-0009-02