似曾相识于2016江苏高考

江苏省如皋市第一中学(226500)

陈山云●

似曾相识于2016江苏高考

江苏省如皋市第一中学(226500)

陈山云●

2016年江苏高考数学理科试卷第18题考查了直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查解不等式，并将圆与向量相结合.利用存在与任意(恒成立)问题相结合,从而有效地解决了实际问题.其实，早在2014年江苏省宿迁市第一次模拟考试中就出现过类似思想方法的试题，接下来，笔者就这道题说开去.

试题 (2014年江苏省宿迁市一模试卷)已知△ABC的三个顶点A(-1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆为圆H．

(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．

考点 直线和圆的方程的应用．

解析 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．(1)略.下面主要来看(2)的解法．

法1 解 因为对于线段BH上的任意一点P，以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点,所以有PM=MN.过点P作圆C的切线，设切点为T,根据切割线定理:PT2=PM×PN=MN×2MN=2MN2.

M,N是圆C上不同的两点，故有MN∈(0,2R].如此，问题转化为：

接下来，如果消去d,得PC2-R2=2MN2(同上)；但若消去MN,则9R2-PC2=8d2.

同理，因为对线段BH上的任意一点P，以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，即：

法3 设P的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，然后利用两圆有公共点，由此可求得⊙C的半径R的取值范围．

解 直线BH的方程为3x+y-3=0，P为线段BH上任意一点，故可设P(x,3-3x)，设M(x0,y0)，因M为PN中点，则有N(2x0-x,2y0+3x-3).

∵P为线段BH上任意一点，且以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则圆C与BH无交点，

接下来，我们来看看2016江苏高考理科数学第18题

题目 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2，4)．

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；

考点 圆的一般方程；直线与圆的位置关系；解不等式．

解析 题(1)(2)略，题(3)与上题类似，请看以下解法：

点评 这里利用了圆上任意两个不同点之间的距离不大于圆的直径这一结论.与上一题法(1)类似.

法2 仿照以上方法(3)，此题亦可作如下处理：

这两道题都考查了直线与圆的位置关系，都涉及到存在与恒成立问题，借助于解不等式，利用函数的办法具有一定的普适性.当然，对于2016年的这道高考题，以上解法1还是有一定的巧妙性的，通过向量等式的变形，结果便一目了然.正所谓“变则通”，在我们的学习中，亦是如此，教材是我们教学的第一个起点，对教材的进一步理解和挖掘是教学的又一个起点，多一个起点，就多了一种选择与思考，这样我们解决实际问题的能力也就越来越强.

G632

B

1008-0333(2017)07-0020-02