导数综合题中零点不可求问题的突破方法

福建省泉州实验中学(362000)

刘彬辉●

导数综合题中零点不可求问题的突破方法

福建省泉州实验中学(362000)

刘彬辉●

导数经常作为高考压轴题的考点出现，导数求解过程中频繁碰到导数零点不可求，这让很多考生望而却步，为此笔者以近年高考或高三联考中涉及导数零点不可求的试题为例，系统阐述该问题的突破，供读者参考.

一、特殊值代入找零点

此类导函数往往具备单调性，可以先找导函数特殊零点，再结合单调性写出单调区间

(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方．

当0

当x>1时，x2-1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．

所以，g(x)>g(1)=0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线l的下方．

评注 本题中x2-1+lnx=0属于超越方程,常规方法无法求解，仔细观察发现把方程左边看作一个函数，发现其是递增的而且有一个零点1，问题就迎刃而解了.

二、虚设零点，整体代入

此类导函数可以判断存在零点，当题目要求出对应的极值时可以考虑虚设零点，整体代入.

例2 (2015年全国新课标1)设函数f(x)=e2x-alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a+alnx.

当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点．

(2)证明：由(1)可设f′(x)在(0，+∞)上的唯一零点为x0.当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，所以当x=x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．

三、多次求导，柳暗花明

此类导函数零点无法找到特殊值，可以考虑导函数整体或部分再次求导，再结合其它方法寻找突破.

例3 设函数f(x)=ex，g(x)=lnx.

(Ⅱ)若对所有的x≥0，都有f(x)-f(-x)≥ax，求实数a的取值范围．

解 (Ⅰ)略．

(Ⅱ) 记h(x)=f(x)-f(-x)-ax=ex-e-x-ax,∴h(x)≥0在[0,+∞)恒成立，

h′(x)=ex+e-x-a,∵h″(x)=ex-e-x≥0(∵x≥0)，

∴h′(x)在[0,+∞)递增，又h′(0)=2-a,

∴①当a≤2时，h′(x)≥0成立， 即h(x)在[0,+∞)递增，则h(x)≥h(0)=0,即f(x)-f(-x)≥ax成立.

②当a≥2时，∵h′(x)在[0,+∞)递增，且h′(x)max=2-a<0,

∴必存在t∈(0,+∞)使得h′(t)=0.则x∈(0,t)时，h′(t)<0,即x∈(0,t)时，h(t)2舍去.

∴必存在t∈(0,+∞)使得h′(t)=0.

即x∈(0,t)时，h(t)2舍去．

综上，实数a的取值范围是a≤2．

评注 本题用到了两次求导，多次求导切忌不可滥用，本题二次求导后函数明显简单化，这样子再去寻找零点就顺理成章，另外也得注意不可把二次导数零点与原函数零点混淆.

四、合理重组，化繁为简

此类函数相比前三种方法更不容易想到，可考虑把原区间分成几部分或通过适当的化简把原函数分解成几部分再进一步研究，一般分为两部分较为常见.

当x>1时，φ′(x)>0,φ(x)递增；当0

∴φ(x)在x=1处取得唯一的极小值，即为最小值，即φ(x)≥φ(1)=1>0,∴F′(x)>0,

∵x>1,∴1-ex<0,∴h′(x)<0,即h(x)在(1，+∞)上是减函数，

五、零点判断，注意正负

例5 (2016全国卷新课标理)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.

(Ⅰ)法二：∵f(1)≠0，∴x=1不是函数f(x)的零点.

当x∈(-∞,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.

又当x∈(-∞,1)时，g(x)∈(0,+∞)，当x∈(1,+∞)时，g(x)∈R，故当a>0时，函数y=a与函数y=g(x)的图象有两个交点，即方程a=g(x)有两解，此时a的取值范围为(0,+∞).

(Ⅱ)解答略．

评注 本题零点个数判断问题，最常用的思路是零点存在性定理，但在具体解题中会出现很难寻找对应区间的正数或负数点，解题中要注意可能要适当地放缩把式子简化，同时也要注意在对应区间可能出现恒正或恒负情况.

综上可知，以上几种方法各有千秋，解题中作为参考，使用中要做到具体问题具体分析，灵活使用.

[1]林国夫.2013年高考导数综合应用中的“隐零点”[J].中学数学杂志，2013(9).

[2]福建省教育考试院2016年普通高等学校招生全国统一考试试题、参考答案[M].2016(6).

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