关于椭圆和双曲线中点弦问题的几个结论

云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学(661400)

马 宏●

关于椭圆和双曲线中点弦问题的几个结论

云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学(661400)

马 宏●

椭圆和双曲线的中点弦问题是解析几何中的一大重点，也是一大难点，同时也是高考考查的一个热点.为此，我们有必要对它进行深刻的研究.本人在研究过程中发现了以下几个结论，供大家参考.

证明 由题意可设A,B两点的坐标分别为：A(x0+Δx,y0+Δy),B(x0-Δx,y0-Δy)，

两式相减，并整理得b2x0Δx+a2y0Δy=0,

(这种证明方法称为“增量法”，在解决中点弦问题时发挥了巨大的作用，建议学生掌握.)

证明 同结论一(略).

证明 同结论一(略).

证明 同结论一(略)

参考答案解析：本题考查直线与椭圆的位置关系、设而不求、中点公式、斜率公式.

解 显然a2-b2=9，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则

点评 这种算法比较常规，但对学生的计算能力要求非常高，故很多学生都无法完成.

若用上面的结论，解法如下：

又a2-b2=9,解得a2=18，b2=9.

点评 这种算法简洁明了，对学生的计算能力要求不高，而上面的结论也不难记忆，故大多数学生都能完成.

例题2 (2010年全国高考宁夏卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A,B两点，且AB的中点为M(-12,-15),则E的方程式为( ).

又a2+b2=9,解得a2=4，b2=5.

解决椭圆和双曲线的中点弦问题时会经常出现，故掌握以上几个结论是非常有必要的.

G632

B

1008-0333(2017)07-0013-02