高中数学中不等式的证明方法总结

江苏省天一中学高三八班(214000) 孙逸科 ●

高中数学中不等式的证明方法总结

江苏省天一中学高三八班(214000) 孙逸科 ●

本文对高中数学中不等式证明方法进行总结，针对不同类型题目采取有效的解题方法．

高中数学;不等式;证明方法

不等式问题是高中数学中的重难点，并且解决方法有很多种．在学习这部分知识时应不断积累，做好总结，熟练掌握不等式的证明方法．

一、采用分析法证明不等式

在学习不等式的证明方法时，应在学习过程中反思有哪些证明方法，以及每种方法的具体应用和特点．在应用分析法证明不等式时，应熟练掌握关于不等式的知识，掌握分析法的用法．分析法的实际应用就是通过从证明的结论考虑，然后求出能够使结论成立的充分条件，再证明充分条件成立，从而保证要证明的结论成立．并且通过积极思考和探究，对新知识进行充分的理解，创新性地用分析法证明不等式．

通过充分了解题意，从结论出发进行分析，逐步找到逆结论成立的必要条件，按照分析法的逻辑原理进行分析，从而正确分析解决问题．同时应了解不等式的实际问题，灵活应用解题方法．

例2 建筑学中规定，住户的住宅窗户面积不能大于地板面积，同时窗户面积和地板面积之比不能小于1:10，并且两者的比值越大，采光效果就越好，问窗户面积和地板面积等面积增加时，采光条件效果是好了还是坏了?

二、通过常数变易法证明不等式

常数变易法也是解决不等式问题的常用方法．一般是用来证明数值不等式，这种类型的需要作辅助函数来进行证明．基本的证明步骤是:一将不等式中的某个常数变易为x，二对不等式进行移项，通过移项使得不等式一端为0，另一端令其为F(x)，三求F'(x)或者F''(x)，然后判断F'(x)或者F''(x)的符号．四通过利用F'(x)的单调性来得出数值不等式的证明．

例3 设e＜a＜b＜e2，证明ln2b－ln2a＞(b－a)．

分析 根据一般解题步骤，需要得出F'(x)、F″(x)等，直到能够判断出F'(x)的单调性，再利用端点值进行大小比较．

证明:令F(x)=ln2x－ln2a－(x－a)(将b变易成x)．由于F'(x)=，则F″(x)=．当x＞ e时，F″(x)＜0，因此当x＞e时，F'(x)单调递减，当e＜x＜e2时，F'(x)＞ F'(e2)==0，即当 e＜x＜e2时，F(x)单调递增．由于F(a)=0，因此当e＜a＜b＜e2时，有F(b)＞F(a)，即ln2x－ln2a－(x－a)＞0，因此ln2b－ln2a＞(b－a)．

合理应用常数变易法能够有效解决这一类型不等式证明，但在证明的过程中，应注意合理应用函数，准确判断函数的单调性，从而证明不等式．

三、利用导数证明不等式

导数是函数中的一个重要概念，并且很多不等式证明题型中会应用到．导数在不等式中应用的方式很多，一般有通过导数求出函数单调性来证明，以及通过导数求出函数的最值来证明．利用函数单调性证明不等式，需要先构造函数，具体形式有直接构造函数以及将不等式变形之后再构造函数，然后利用导数来证明函数单调性．

例4 当x∈(0，x)时，证明不等式sinx＜x．

证明 设F(x)=sinx－x，则F'(x)=cosx－1，因为x∈(0，π)，所以F'(x)＜0，所以 F(x)=sinx－x在区间(0，π)上是单调递减的，并且F(0)=0．所以F(x)=sinx－x＜F(0)=0．因此当x∈(0，π)时，sinx＜x成立．

通过导数求出函数的最值也是解决不等式问题的重要方法．根据不等式的结构特点，有时可以构造函数，然后利用导数来求出函数的最值，当求出此函数的最大值或者最小值时，不等式成立，从而得出不等式恒成立的结论．

例5 设n∈N，n≥3，证明2n＞2n+1．

证明 要证明2n＞2n+1，需要证明2n－2n－1＞0，n≥3时成立．设 F(x)=2x－2x－1(x≥3)，则F'(x)= 2xln2－2(x≥3)，因为x≥3，因此F'(x)=2xln2－2≥23ln2－2＞0，所以当x大于等于3时，函数是单调递增的．所以函数最小值为F(3)=23－6－1=1＞0，因此n∈N，n≥3时，F(n)≥F(3)＞0，即n≥3时，2n－2n－1＞0成立．

总之，不等式形式多样，在学习高中数学不等式的内容时，应充分掌握对应的各种方法，灵活判断各种类型不等式题型的解题思路．

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