非等质量的多星系统及黑洞问题探讨

郭今戈

(山西省太原市第五中学,山西 太原 030001)

·问题讨论·

非等质量的多星系统及黑洞问题探讨

郭今戈

(山西省太原市第五中学,山西 太原 030001)

稳定状态下的双星及多星系统的天体运动角速度相同,呈直线型或多边形分布,这是多星系统保持稳定的必要条件,分析多星问题的关键在于受力分析,清晰分辨万有引力半径与圆周运动的向心力半径.本文重点分析稳定状态下非等质量的多星及黑洞的运动问题．

稳定状态；非等质量；多星问题

1 非等质量的双星系统

在银河系中,双星的数量非常多,研究双星,对于了解恒星甚至银河系的形成和演化过程的多样性有重要的意义．双星、多星天体之间的相互作用遵循万有引力定律,运动分析中需使用牛顿第二定律建立方程组求解．

双星系统中一个星体的万有引力由另一个星体提供,双星绕共同的质心运动.它们的向心加速度之比为它们质量的反比．需要关注的是:行星围绕恒星做匀速圆周运动,或者卫星绕行星做圆周运动时,万有引力作用的距离,刚好是行星(或卫星)圆周运动的轨道半径．但是在双星系统中的引力作用的距离与双星运动的轨道半径是不同的,双星系统中两星做圆周运动时的角速度和周期是一定相同的．它们的线速度之比与其各自运行的轨道半径之比相同．

图1 稳定状态下非等质量双星系统

例1.质量为m1、m2的两个星球组成双星,如图1所示,它们在相互之间的万有引力作用下绕两星球连线上某点O做匀速圆周运动,试分析它们各自运动的周期、半径、线速度、向心加速度．

双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度与周期相等,T1=T2.根据万有引力公式有

则有

m1r1=m2r2,即r1∶r2=m2∶m1.

由v=rω,则

v1∶v2=r1∶r2=m2∶m1.

由a=rω2,则

a1∶a2=r1∶r2=m2∶m1.

解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力,周期相等,角速度相等得出半径之比、线速度之比、向心加速度之比．

例2.双星系统由两颗星体组成,两星体在相互间万有引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现,双星系统演化过程中,两星体的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星体做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星体总质量变为原理的k倍,两星体之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期如何变化?

设该双星系统的星体质量分别为m1、m2,轨道半径为R1、R2,两星体的总质量为M．由于他们之间距离恒定,因为双星在空间的绕向一定相同,同时角速度和周期也都相同．由万有引力提供向心力可知，对m1星体有

对m2星体有

由R1+R2=l,m1+m2=M,联立解得

小结:稳定状态下非等质量的双星系统,其运动的质心是两星体连线上的一点,可将双星分割成两个独立的星体绕质心旋转的问题．

2 非等质量三星系统

宇宙中存在一些离其他恒星较远的,由质量相等的3颗星组成的三星系统,忽略其他星体对他们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本构成形式,如图2所示．第一种是3颗星体在同一直线上,两颗星体围绕中央的星体在同一半径为R的圆轨道上运行,周期相同,中央星体静止不动;第二种是三颗星体位于三角形的三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆轨道运行,三颗星体运行周期相同．

图2 规则三星系统

例3.由3颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:3颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的3个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动,如图3(a)所示．若A星体质量为2m,B、C两星体质量均为m,三角形的边长为a,试分析A星体所受合力FA,B星体所受合力FB,C星体的轨道半径RC,3星体做圆周运动的周期T．

图3 非等质量三星系统

由万有引力定律,A星体所受B、C星体引力大小为

如图3(b)所示,则合力大小为

同理,B星体所受A、C星体引力大小为

由图可知,圆心O在中垂线AD的中点,由对称性，有

3星体运动周期相同,对C星体:

3 通过双星运动发现黑洞

黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMC-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成,两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,他们之间的距离保持不变,图示如双星系统,由观测可得可见星A的速率v和运行周期T．

(1) 可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m的星体对它的引力,设A和B的质量分别为m1、m2,试求m,用m1、m2表示．

设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2,由题意知A、B角速度相同,设为ω,则有

FA=m1ω2r1,FB=m2ω2r2,FA=FB.

A、B之间距离为r,又r=r1+r2,由上述各式得,

由万有引力FA=Gm1m2/r2,可得

(2) 试求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系．

由牛顿第二定律,有

(1)

(3) 恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量ms的2倍,它将有可能成为黑洞,若可见星A的速率v=2.7×105m/s,运行周期T=4.7π×105s,质量m1=6ms,试估算暗星B有无可能是黑洞(G=6.67×10-11N·m2/kg2,ms=2.0×1030kg).

将m1=6ms,代入式(1)，得

设m2=nms(n>0)

(2)

若使式(2)成立,则n必大于2,即暗星B的质量m2必大于2ms,由此得出,暗星B有可能是黑洞．

4 总结

多星系统各星体运动周期相同,其位置具有对称性,这是多星系统保持稳定的必要条件,受力分析需注意星体之间引力与提供向心力做圆周运动的合力的区别,需特别关注万有引力与向心力公式中r的区别,前者是星体距离,后者是星体运动半径．黑洞问题借助双星系统的概念,对不可见的暗星进行估算,从而判断其是否为黑洞．

1 梁会琴，韩运侠.天体运动四种模型[J].物理教师，2016(1)：82-84.

2 孙铁斌.天体运动中的“三星”问题[J].物理教师，2009(12)：56-57.

2016-09-18)