求和问题，数列教学的“重头戏”

付连刚

【摘要】数列求和问题是高中数学的重要知识内容，求和方法复杂多变，培养同学们熟练的运用这些方法是教学的重点与难点。笔者作为一名高中数学教师，根据多年的教学经验，在本文中浅谈了几点对数列求和知识进行高效解读的教学策略，具有一定的参考意义。

【关键字】高中数学；数列；求和；转化

中图分类号：G633.6

数列是一种特殊的函数，其应用在高考中占有重要的地位，考察了同学们的逻辑思维能力、推理能力、谨慎性以及灵活性。笔者作为教学中的主导，在教学过程中引导同学们探究数列求和的技巧与关键，促进教学目标高效的完成。

一、叠加叠乘，引导转化

数列求和有很多求解的方法，包括倒序相加法、拆项重组法、裂项相消法、错位相减法、叠加法、叠乘法等等。为了深化同学们对每一种求和方法的应用，在教学时可以开展专题性的讲解，本文以叠加叠成这一专题教学为例，重点进行探讨。

在数列的学习中，等差数列与等比数列是可以直接根据公式进行运算的，借助公式能够使运算变得非常简单。对于一些特殊的数列，同学们通过叠加或叠乘这样转化，能够将递推數列转化为可以直接应用公式的等差或等比数列，或一些求和简单的数列，根据其通项公式进行求解。然而同学们总是不能避免走一些弯路，没有进行正确转化，造成运算非常复杂，解题思路不对。因此，我通过让同学们练习一系列的求和问题，去领悟运用叠加叠乘的方法及相关类型数列的特点。例如，已知a1=1，an+1=an+2n，求数列的和Sn。对于这道问题，直接利用递推公式求解Sn是非常困难的。首先应当根据递推公式求出an的通项公式，这里就用到的是叠加法。由递推公式可得a2-a1=2，a3-a2=2*2，a4-a3=2*3，……，an-an-1=2n-1，将这n-1个式子相加可得an=1+2+2*2+2*3+……2n-1，化简得到an=1+2（1+2+3+……n-1）= n（n-1）+1=n2-n+1。Sn=（12+22+32+ ……+n2）-（1+2+3+……+n）+n=n（n+1）（n+2）/6-n（1+n）/2+n，得解。通过对若干运用累加法求和问题，我引导同学们去探究总结其中的规律，最终同学们发现，对于an+1=an+f（n）这种形式的递推数列，应当通过叠加法求其通项公式，当f（n）是一个常数时，数列是等差数列。同样的方式，我再引导同学们进一步探究叠乘法的应用。

在上述教学活动中，我通过展开专题讲解，引导同学们去深入探究每一种求和的方法，有助于促进同学们扎实基础，落实基本功，从而灵活的运用这些方法解决综合性问题，提高解决问题的能力。

二、自行编纂，凸显层次

教师的教学要注重层次性，每个同学的理解能力有高有低，对知识的吸收程度不同，因此教师在让同学们进行习题练习时，也要注重层次性，从易到难，从浅到深，使不同层次的学生都有所收获。

比如，我通过自行编纂习题，充分注意题目的难易程度，使同学们一步一步的获得能力提升。最开始我会要求同学们能够充分的理解与运用等比数列及等差数列的公式，严格遵守公式应用的条件。例如在求等比数列的和时，如果公比不是一个已知的常数，那么同学们在求和时一定要分为公比为1和公比不是1这两种情况。接下来同学们需要学会通过进行一定的变形进而应用等比数列或等差数列的求和公式求解。例如一些数列既不是等差数列，也不是等比数列，但是通过将数列进行适当的拆分，可以分为几个等差数列、等比数列或者常见的数列，这种方法即为分组求和法，是比较简单的变形。其次还有错位相减求和这一方法，同学们通过设置错位，相减之后得到一个等式，等式一边是含有Sn这一参数的简单式子，通常为（1-x）Sn，等式右边可以利用等比数列求和公式进行化简，最终得到Sn。接下来同学们需要掌握一些复杂的变形求和，例如裂项相消法的运用。

在上述教学活动中，我通过有层次性和递进性的开展教学内容，使不同水平的同学都尽可能的学到知识，水平低的同学可以掌握求和的基本方法，会求解简单例题，而水平高的同学在教学中不断地获得提升，很大程度上提高了课堂的效率。

三、高度预见，对症下药

根据历年的教学经验，教师是可以预见性的估计同学们可能会出现问题，发现那些知识是同学们的薄弱之处。教师通过有针对性的对症下药进行设计，可以有效的促进同学们攻克重点难点，提高数学知识水平。

比如，在对数列的求和问题进行教学时，我发现同学们对数列的性质掌握的并不是很好，经常会混淆。为了使同学们充分的吸收这部分知识，我对症下药，就这部分知识有针对性的进行了备课，以帮助同学们有效的梳理。我首先出了一道典型例题让同学们自主解答，例如，等差数列的{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和。通过观察同学们的解题过程，我发现有部分同学果然按我所预计的，将通项性质与前n项和的性质混淆了。我采用不点名的方式将其错误答案在黑板上板书出来，让同学们来分析一下错误之处。错误答案如下：由于Sm，S2m，S3m成等差数列，所以2S2m=Sm+S3m，S3m=2*100-30=170。同学们纷纷回答是错的，Sm，S2m，S3m并不成成等差数列。我对同学们说 ：“那同学们能用具体的数据告诉我为什么不成等差数列吗？”同学们是通过举例的方法说明了这一问题，Sm=m（a1+am）d/2，S2m= 2m（a1+a2m）d/2，S3m=3m（a1+a3m）d/2，给m、d、a1赋予具体的数值可以计算出三者并不成等差数列。我继续提问：“那么这道题应该怎么做呢？”同学们回答到，Sm，S2m-Sm，S3m- S2m成等差数列，公比为m2d，所以2（S2m-Sm）= Sm+S3m- S2m，代入数值得S3m=210。为了让同学们都能深入的理解这一性质，我引导同学们再一次证明了 Sm，S2m-Sm，S3m- S2m为何成等差数列，以及公差的公式，有助于同学们对其产生更深的记忆。

在上述教学活动中，我通过设计问题，让同学们先出现错误，然后对其进行针对性的讲解与指导，使同学们意识到求和问题的关键，从而产生更深的理解与认识，高效的达成了教学目标。

综上所述，教师在教学过程中，通过对重点的求和方法进行专题讲解、选配具有层次性的典型例题进行训练、对可能出现的问题进行针对性的设计等策略，能够有效的提高教学效率，让同学们更好的吸收和运用数列求和的知识，实现高效的数学课堂。

参考文献：

[1]岳玉科.《数列求和》教学案例谈新教材的有效研究探索[J].昭通师范高等专科学校学报，2011（S1）.

[2]王英任.关于数列求和问题的方法和技巧[J].河南教育学院学报（自然科学版），2002（01）.