为理解而教 为迁移而学——“积、商的变化规律”教学案例引发的思考

□ 陈云英

为理解而教 为迁移而学
——“积、商的变化规律”教学案例引发的思考

□ 陈云英

以“积的变化规律”和“商的变化规律”两个教学案例为例，来分析教学中学生出现的两种现象：只会做不会说和只会说不会做。鉴于此，教师应该为学生对知识点的理解而教学，情境的设计、小组的讨论、板书的设计等都应该为此服务；作为课堂主体的学生，应该在理解知识的基础上学会知识的迁移，将知识点串点成线，系统地学习数学。

理解 迁移 数形结合

在教学中我们发现，很多学生学的是哑巴数学，他们不会用数学语言去描述一些变化规律，只知道“埋头苦做”，知其然而不知其所以然，碰到稍微变式的题目就束手无策，无从分析；还有的学生恰好相反，他们上课发言积极，爱表现自己，到了独立练习的时候却往往频频出错，不会分析和解答了，甚至有的方法还是他自己举手发言过的。这一类学生往往是口头表达能力好，在课堂上“照样子说话”的能力很强，其实并没有真正的学懂。这些学生过了一年或两年再回忆起所学的知识点时，没有一丁点印象。因此，教师在教学中应该为学生对知识点的理解而教学，而作为课堂主体的学生在理解知识的基础上学会知识的迁移，将知识点串点成线，系统地学习数学。下面笔者就以“积的变化规律”和“商的变化规律”两个教学案例为例，来谈一点思考。

【案例回顾】

“积的变化规律”案例回顾：说得好，做得差

一个教龄3年的教师参加“一师一优”课活动，拍摄一节数学课，内容是人教版四年级上册第52页的“积的变化规律”。教师出示教材的两组乘法算式：（1）6×2=12，6×20=120，6×200=1200。（2）20× 4=80，10×4=40，5×4=20。让学生通过观察、比较、分析、说理、交流等一系列的活动，顺利归纳总结出了积的变化规律，并还会用数学语言刻画这个规律，在分小组验证环节，学生联系自己已有的数学学习经验来举例验证，分享结果。课堂上学生表现活跃，参与积极，数学语言表述准确到位。但是笔者发现，学生到了实际应用环节却开始频频出现问题。在练习“做一做”第1题时（见下图），学生对于第一组和第二组计算正确率较高，第三组就出现有的学生虽然计算结果正确但是没有按规律来计算结果，这或许是受数据关系的影响。

为了了解学生的学习情况，教师增加了第一个因数不变，第二个因数依次扩大到原数的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍的规律，并将算式顺序打乱，这时学生的速度明显慢了，错误率也大幅提高。

14×17=238 14×34= 14×102=

14×51= 14×85= 14×68=

又如“做一做”的第2题（如下图），仅个别学生会用积的变化规律去解答题目。

“商的变化规律”案例回顾：说得差，做得好

这是一节校级的教研课，上课的是一位有8年教龄的教师，所带的班级是从一年级带上来的，学生基础扎实，思维活跃。在课的一开始，教师先让学生复习回顾积的变化规律，然后根据积的变化规律猜一猜商的变化规律。接着教师引导：谁说得对？谁说的不对呢？我们用两组算式来验证猜测。教师出示了例题的两组算式（见下图），先计算然后观察找规律。一开始学生一片沉默，不太会用数学语言来描述，后来在教师的引导下逐渐会说，但是仅仅停留在举例的两道题之间的规律，如16÷ 8=2和160÷8=20，学生会说：除数不变，被除数乘10商也乘10。但是用完整数学语言来描述规律，许多学生则有一定的难度，特别是第二组的规律。

而第三组是商不变的规律（见下图），学生通过观察、交流、反馈比较轻松地得出了商不变的性质，相对于上面两组变化规律，第三组学生的数学语言表达清楚准确。

接着是“做一做”的练习（见图1），出乎我的意料，学生的练习准确率很高，原来“做一做”的题全都是应用商不变规律来写商的，怪不得！课后有一个成绩中等的学生对我说：“数学好复杂啊，商的三个变化规律都把我变晕了！”“那你学会了吗？”“会了。”可是当教师让她来描述学到的规律时，仅仅是商不变规律描述准确，其他都不完整。其中有一个学生还补充说：“其实你不用晕，其他的两个规律是没有用的，只要会用商不变的规律就可以了，我在做题的时候没有用过其他的规律。”“那练习第6题（见图2）根据规律写商，第一组的最后一题和第三组的第2题你是怎么想的？”“直接算出来就很简单啊！”他答道。事实果真如此吗？

图1

图2

【我的思考】

思考一：播好“种子”，给知识生长的力量

特级教师俞正强老师说：如果将某一知识系统作为一棵树，这棵树的生长过程表现为若干“课”，那么，一定有一些课需要“莳也若子”，充分理透脉络；一定有一些课可以“置也若弃”，让学生充分自主。“莳也若子”的课，通常处于起点或者节点，谓之“种子课”。“置也若弃”的课通常处于点与点之间，谓之“生长课”。以此观来，《积的变化规律》就是一节种子课，《商的变化规律》则既可以看作生长课也可以看作种子课。就学习方法来说，因为有了《积的变化规律》的基础，可以看作是生长课；就知识点来说，它是学习小数除法和整数除法简便方法的开始，所以看作是种子课。

“积的变化规律”既然作为一颗学习方法的“种子”，我们的教学就要更加关注学生对规律的方法的得出。在课的一开始教师出示问题一：积在什么情况下会变化？以2×3=6为例。学生思考观察得出：当因数发生变化时，积就会发生变化。接着出示问题二：积的变化和因数的变化有怎样的关系？让学生先说一说打算怎么研究这个问题。学生纷纷提出可以举例对比研究。这时候探讨研究的方法很重要，让学生自己去探讨研究的策略，为以后的“生长”播下了种子。教师适当出示小组学习单：为了研究的方便，我们可以从一个因数不变、另一个因数变化开始研究。通过独立研究—小组研究—全班交流，学生对于积的变化规律已经了如指掌了。在课的结尾可以适当提升学习的方法：如果我们有一天把积的变化规律忘记了怎么办？说着擦掉板书。学生说可以看一看上面的例子就知道了。教师把例子也擦了：例子也没有了怎么办？学生恍然大悟：我们可以自己举例研究。学生的回答再一次证明了学习方法的重要，课后教师让学生回去用同样的方法研究一下两个因数的变化规律，第二天学生纷纷交上了满意的答案。因为有了这一课的“种子”，学习“商的变化规律”时学生自己纷纷自主举例研究，发现三个规律。所以在这两个课时之间，学习方法是可以迁移的，当迁移成功的时候学生的学习能力就得到了提升。

思考二：数形结合，透过表象看本质

数形结合是非常重要的一种数学思想，华罗庚教授曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合万般好，隔离分家万事非。在学生初步感悟积的变化规律后，运用发现的规律计算另外两个长方形的面积（见下图）。

将发现的规律应用于实际问题的解决，感受由数的变化引起面积的变化，借助形的支撑，将上图变成下图（见下图），学生再一次感受到了积的变化规律。让学生对比其中的两个长方形，具体表述积的变化规律。接着请学生根据第1题的计算，自己创造一个蕴含着积的变化规律的图形，请同桌计算并表述其中的规律。接着请学生解决“做一做”第2题长方形的面积时，大部分学生就选择用560×（24÷8）这个方法来解答，请学生说想法的时候学生很自然地画了示意图来解释。

又如在学生初步感知商的变化规律时，教师请学生填表计算，说一说发现了什么？

通过填表发现，单价是不变的。教师继续追问：你能用今天学的知识来解释一下吗？学生继而恍然大悟：被除数（总价）和除数（数量）同时乘以或除以相同的数（0除外），商（单价）不变。接着教师又出示一幅统计图，并请学生在统计图上找到相对应的点，观察连成的线的特征，估一估三本的总价是多少？你能找出来吗？12本的总价又会在哪？其实这就是六年级要学的正比例的图形，学生已经有了一定的基础了。

这样由数解释形，由形概括数，数形结合，掌握了概念的特征，深刻地理解了概念的本质特征，这就是直观模型带来的支撑作用。

思考三：重“理”轻“诵”，为迁移而学

在上面这两个案例教学中，教师都非常重视学生对变化规律概念的背诵，但是如果不是建立在理解基础上的背诵往往是无效的。在概念教学中，首先要通过一系列的学习情境让学生理解概念，发现、概括、找到规律，然后用数学语言来描述它，最后会利用发现的规律解决实际问题。数学知识不是单独孤立存在的，每一个知识点都有它的前连后延，例如，“商的变化规律”一课中有三个变化规律，但是第一个和第二个变化规律在习题的练习中很少出现，只有商不变性质应用得比较多，难道真如学生所说的是没有用的吗？不是的，这两个变化规律的发现让学生完整地感受到了商的变化规律的特征，初步感受到了被除数、除数、商三者之间变与不变的本质特征，为学生以后更全面地思考问题养成了良好的习惯。

教师为“理解”而教，情境的创设、学习方法的选择等都要围绕这一目标；学生为“迁移”而学，理清知识的前连后延，构建大数学网络。在学生的脑中不断植入思考的种子，我们希望听到学生说：数学原来这么有趣！原来这么简单！

[1]陈珠妺.让学生自主地学习[J].课程教育研究，2015（，6）.

（浙江省天台县福溪街道中心小学 317200）