由数系的发展浅谈其与数学各分支的联系

皮庆华

摘要：在高等院校数学专业的教学中，数学史具有很重要的意义。通过学习数学史，学生可以了解数学发展的历史，掌握数学的内容、方法、意义，明确数学各个学科之间的联系，进而更好的进行相关专业课程的学习。本文仅就笔者在数学史教学中的若干经验，以数系的发展为出发点，浅谈其与数学其他课程的若干联系。

关键字：数学史；有理数；无理数；数系的完备化

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一、有理数和无理数

自然数及相应的加法运算，在公元前三千多年的古巴比伦文明和古埃及文明中就已经出现。但直到公元前600年到公元前300年的古希腊时期，数学才正式作为一个学科登上历史舞台。

古希腊人研究自然数的比值，即可公度比，产生了有理数的概念。而不可公度比，即所谓无理数，是由毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hippasus），在公元前5世纪发现并证明的。这个证明可以很容易的借助于勾股定理给出：

由上述证明 是不可公度比的过程，我们可以看到数学证明的严密性。

二、无理数的不同认知方式

当进行充分大的步骤的时候，误差就可以充分的小（极限中的 语言）。

另外一种是借助于几何进行等价认知。在数轴上取长度为1的区间，固定一个顶点，将另外一个顶点旋转90度。连接旋转前后的两个点，构成一个等腰直角三角形。之后将斜边旋转回数轴。由此我们可以得到 。

以上两种方法，反应了当代数学研究的两种思想。一种思想是，通过分析的方法，借助于已有的理论，对未知的问题进行某种程度的估算；另外一种思想是，将问题转化至某种良序的代数或几何对象，借助该对象的性质来认知原始问题。例如，为了描述素数在自然数中的分布情况，由Gauss做了猜想，然后由1896年数学家哈达玛（Hadamard）和普森（de la Vallée-Poussin）分别独立证明的素数定理，即是将素数在自然数中的分布情况，描述为如上形式的渐近公式。

另外一个例子是费马大定理的证明。德国数学家费马（Fermat）在1673年提出如下的猜想当整数n >2时，关于x， y， z的方程 没有正整数解。这个猜想最终由怀尔斯（Wiles）于1996年证明。怀尔斯证明该猜想的思路是，将原来的算数问题，通过某种情况下的谷山─志村─韦伊定理，转化为椭圆模函数的某类等价命题，才给出了证明。

三、数系和群论

对于有理数域 的进一步扩展，联系到代数多项式的解。将代数多项式的解添加入有理数中，按照域的定义，构成新的域，是为有理数域的代数扩张。

由此，如上所述，从数系的发展到有理数域的扩张，其牵扯到了近代数学的一门高度抽象的学科——抽象代数。古典数学的一些问题，如尺规作图法能否三等分任意角、尺规作图法能否得到任意正多边形等问题，都是由抽象代数的理论来得到其结果的。

四、数系的完备化

我们从另一个角度来看有理数域——考虑有理数的完备化。我们知道，有理数与无理数一起，構成了实数。实数在整个数轴上是连续的，我们可以在实数上引入绝对值的概念。

在该度量下， 是泛函分析中所定义的赋范线性空间。其对应该度量（或者范数）的完备化空间（Banach空间），恰是整个实数域 。由此，可以将实数系 描述为有理数域 在赋值 下的完备化空间。

我们记 为有理数域 在如上p-进位赋值下的完备化。可以证明，对不同的素数 ， 是有理数域上的不等价的赋值；加上对应的绝对值 ，就构成了有理数域所有的不等价的赋值。

如同实数域 ，我们同样可以对完备化后的 上定义拓扑、函数，建立Fourier变换等分析工具。某些有理数上的算数问题，即可以通过等价变化，转化到完备化后的 及 上的问题，然后使用建立的分析工具进而求解。

结束语：从自然数出发，到有理数、无理数、实数。数系的发展与数学的各个分支，如分析、代数、拓扑、泛函等，均有深刻的联系。希望借助于此问题的阐述，能够对高校数学史的教学有所启发。