浅谈一般数列的求和问题

李政廷

G634.6

数学是高中阶段的主要学科，对我们高中生的高考有直接的影响，而数列问题又是数学课程的重要组成部分。因此，在高中阶段的数学学习中，数列求和是高中数学教学中的重要课题，也是我们学生学习的重点内容，我们须对数列求和问题要有足够的重视。而如何借助有效的方法解答求和问题，切实提高学生学习效率和学习效果，使学生掌握好这一重要知识，也是每位数学老师努力钻研的目标。在本文中我对数列求和问题的方法进行了归纳，希望可以为当前的高中生学习数学提供有益的借鉴。

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。从历年高考的情况我们可以发现，高考数列综合试题往往呈现以下特点：以知识和方法立意考查等差、等比数列的有关知识，以求数列的通项公式和前n项和公式为主线，考查数列中的重要方法。 数列求和问题的解决，既可以采用基本的公式法，也可以采用技巧性更强的其他方法，如裂项相消法、分组相加法、倒数相加法等，要根据具体问题具体分析和应用不同解题方法。下面我们来了解一下数列求和的基本知识和方法。

一、牢固掌握数学基础知识

数列求和问题是高中数学重要的组成部分，要掌握好这部分知识，应当要求学生牢固掌握最基本的数列知识。如数列的定义、性质和基本公式等。我们要牢记掌握等差数列和等比数列的概念。等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫作等差数列；等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫作等比数列。

二、利用数列基本公式进行求和

在牢固掌握数列知识的基础上，遇到数列求和问题时，可首先分析是否可以套用公式进行解答，是数列求和问题中较为容易的一类。在利用数列基本公式进行數列求和时，要注意公式的准确性，如果公式不正确，答案自然也南辕北辙。因此，学生一定要认真记忆公式。 利用公式法求和是数列求和问题中较为简单的一种，一般来说，这类题型可以直接套用公式，或只需要简单的分类合并，再套用公式进行解答。在教学过程中，老师们应该要求学生牢固掌握这类解题方法，在考试中，这类问题是很容易得分的题型。

三、采用错位相减法求和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。当有待定系数时，要进行分类讨论。乘以公比，错位相减，数准项数，计算细心，确保结论正确。错位相减法求和是数列求和的重要方法，是高考的常考重点。

需要注意的是，错位相减法比公式法的难度有较大提高，是学生得分较低的一类题型，在解题过程中，要注意对问题分析并寻找规律，避免漏项或书写错误，从而得到问题的正确答案。老师们在讲解这个方法时，也可以结合学生常犯的错误，并按照一定的流程进行讲解，让更多的学生掌握这种求和方法。

四、借助裂项相消法求和

利用解析式变形，将一个数列分成若干个可以直接求和的数列，进行拆项重组，或将通项分裂成几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后剩下有限项的和。在学习过程中，应当教育学生掌握“裂项相消求和法”的几个特征：（1）通项的分母是因式相乘的形式；（2）每项裂成两个式子的差；（3）相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的前式互为相反数；（4）裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项。裂项相消法求和是一种非常常见的题型，也是高考中的热点考题。相对于其他题型来说，这种题目的难度大，有一定的思维能力，对于培养学生的思维能力有很大帮助。

运用此种方法时，需要同学们注意的是：在解答此类问题时，应当多写一些项，然后进行观察，才可能看出抵消的规律，从而使用该方法解决求和问题。

五、借助倒序相加法求和

在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么可考虑选用倒序相加法。利用倒序相加法解决数列求和问题，大都是利用等差数列、等比数列以及函数的重要性质，从而顺利地解答问题。在使用倒序相加法时要注意不断变形。

综上所述，作为高中数学重点内容的数列求和问题，其解答方法有很多种，如公式法、错位相减法、裂项相消法以及倒序相加法。此外，还可以利用其他求和法，如归纳猜想法、奇偶法等。以上几种方法虽然各有其特点，有时有些数列求和问题甚至可能用到几种求和方法，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律灵活运用，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

六、结束语

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位。数列求和问题是数列的基本内容之一，也是近年来高考命题的热点和重点。数列求和问题题型多变，思维要求高，是数列的一个难点。在面对较为复杂的数列求和问题时，我们应当认真分析，将复杂的问题转化为我们熟悉的等比、等差数列，然后根据题型采取不同的解答方法。这些方法体现了等价转化思想在数学中的运用，能够有效促进高中生门数学思维的发展和能力的提升。同时，解题过程中，我们还应当掌握每个方法的本质，而不能生搬硬套，否则问题答案南辕北辙。要想达到良好的学习效果，同时也需要老师们与我们互相配合，才能不断提高学习数学的效率和学习质量。