“数感”在数学学习中的作用

谭耀生

摘 要：数感是创新思维活跃的一种表现，它既是发明创造的先导，也是百思不得其解后突然诞生的硕果，在解题过程中，有着重大的作用。

关键词：数感 学习 作用

【中图分类号】G633.6

数感，简单的说，感觉就是直接的领悟和洞察。严格地说，感觉是在实践经验基础上，对事物迅速识别、判断，进而做出大胆地猜想、合理的假设，并做出试探性的结论的一种思维形式。数感是百思不得其解后突然诞生的硕果，在解题过程中有重要的作用。

一、数感提供巧解的方案

在分析和解答数学问题时，若能恰当地应用数感意识思维，可以从所提供的材料中产生顿悟，诱发灵感，发现解题的简洁途径。

例1：计算11×2 + 12 ×3 + 13×4 + ……+ 12002×2003

分析：这一计算题，若按先算乘除后算加减来计算，则比较复杂。若仔细观察，则可发现11×2 = 1- 12 ，12 ×3 = 12 - 13 ， 13×4 = 13 - 14 ，……，12002×2003 = 12002 - 12003 ，由感觉可感知，分解之后，从第二项起，前一项与下一项的和恰好为0，可迅速求解，省去多位数字相乘、通分相加的麻烦。

解：11×2 + 12 ×3 + 13×4 + ……+ 12002×2003

= （1- 12 ）+ （ 12 - 13 ） +（ 13 - 14 ） +……+ （12002 - 12003 ）

= 1- 12003

= 20022003

例2：解方程x+10 + x-11 =7

分析：这是一道无理方程的题目，按常规解法，应两次平方化为整式方程来解，比较繁琐。如仔细观察，注意根号内式子的特征，数学意识感觉使用换元法解此题。

解：令x+10 = A，x-11 = B

则 A + B=7 ①

A2-B2 =21 ②

由①、②得A-B=3 ③

由①、③得A=5 即x+10 =5

∴x=15

面对一个数学问题，我们前面有许多路可走，但走哪一条？往往要靠感觉。感觉帮助我们找到简洁的解题途径

二、数感提高解题的目标意识

杰出的数学教育家波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠可以接近它的方向去攻击堡垒。”面对一个数学问题，我们前面有许多条路可走，但是怎样预见解题的起步方向呢？往往要靠感觉。

例3：已知△ABC中，BC=20，AB+AC=50，求中线AM的最小值。

分析：本题可根据所给条件建立函数关系式，最后转化为求有条件的极值，但计算较复杂。若感觉到此题的已知条件与椭圆定义的关系，则可有 2c=20 2a=50 => b=521 再由椭圆的几何性质推知，AM 的最小值为短半轴长，所以AM的最小值为 521 。

解：（略）。

这个例子都是通过数感帮助我们走出迷雾，找到解题方向，有的从已知条件入手，有的從感觉猜测问题的结论出发。由于运用数感的猜测和想象会“提出一些天才的思想，预测到一些后来的发现，但也会说出十分荒唐的见解。”所以在猜测结论后，还要组织逻辑证明。

三、数感使抽象问题直观化

数感对数学的某些定义、定理、方法能做到洞察其直观背景，把十分抽象的内容变成头脑中直观而浅显的东西。

例5：已知sinx>tgx>ctgx，在[- π2 ， π2 ]中，求x的取值范围。

分析：这是一道抽象的三角函数的题目。数感

意识到若将sinx、tgx、ctgx在[- π2 ， π2 ]

的图象作出，则可求解。如图1。

从图中可看出x的取值范围为（- π4 ，0）。

例6：已知圆周上有6个等分点，求以其中三个点为顶点的直角三角形的个数。

分析：乍看此题，感觉便告知作出图形则可解，如

图2。因为此6个点将圆周等分，所以对称两点的连线

过圆心，如BE。则 ABE、 FBE、 CBE、 DBE为直角三角

形，即过直径BE有4个直角三角形。同样过直径CF、AD

也分别有直角三角形。所以所求个数应为12。 图2

由此可见，感觉能将抽象的概念、问题变成直观而浅显易懂的图象，使我们易于把握问题，解决问题。

一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于数感意识能力的高低。徐利治教授指出：数感意识是可以后天培养的，实际上每个人的数感意识也是不断提高的。数感意识是可以通过训练提高的。与此同时，学生数感的建立是一项长远的工程，不是一朝一夕所能完成的，对学生数感的培养，我们要努力钻研教材，创造性的运用教材，培养、发展和强化学生的数感。随着数感的建立、形成、发展和强化，学生的整体数学素质一定会有所提高。

参考文献：

1、任樟辉 《数学思维论》 广西教育出版社

2、冯克诚 《中学数学思维能力的培养与思维方式训练――数学卷》 内蒙古大学出版社