“两角和与差的余弦”的教学案例与反思

陈慧

（南京市燕子矶中学，江苏南京210000）

“两角和与差的余弦”的教学案例与反思

陈慧

（南京市燕子矶中学，江苏南京210000）

本节课是向量与三角函数的综合应用，在讲述过程中要体现化归思想以及数形结合思想，通过向量以及三角函数的定义得到两角和与差的余弦公式，并对诱导公式进行小结。教师设置问题情境，类比特殊情况，继续创设问题，利用已知结论，巩固延伸，拓展应用。设置的问题要具有启发性、层次性、激励性、体验性，要给学生充足的时间，教师要学会倾听，允许不同的声音存在，营造一个民主宽松的课堂氛围。

三角函数；向量应用；问题情境

一、案例背景

一堂好课即一堂学生学得好的课。好的课堂教学不是结果的教学，而是动态的思维活动的教学。教师可以设置一些好的问题，引导学生主动质疑、探究，实施“问题引导探究”，在探究过程中，让学生动手操作，生成智慧，发现数学的本质。

“两角和与差的余弦”这节课是苏教版《必修4》第三章“三角恒等变换”3.1“两角和与差的三角关系”中的第一节内容，是在学习过第一章“三角函数”和第二章“平面向量”后学习的内容，可以借助三角知识，利用平面向量这个工具，加以研究。因为和前面两章都有紧密的联系，需要用到前面两章的知识，所以这节内容的难度大，探究性强，所渗透的数学思想方法较多。并且这节课为后面学习“两角和与差的正弦、正切”打下基础。

二、案例描述

（一）设置问题情境，实际背景中感知两角差的余弦公式形式特征

情境引入：

教师：同学们，翻到课本P90第22题，解决这个问题。用向量数量积的两种形式求a·b，可以得到什么结论？

学生：cosθ=cos75°cos15°+cos75°cos15°

教师：向量a，b的夹角是多少呢？（学生思考）

教师：如果要求两个向量的夹角，这两个向量要共起点，不妨设起点为O，设a=，b=，那么点P，Q在哪里呢？

学生：75°,15°角与单位圆的交点，夹角为60°。

（学生回答过程中，在黑板上画出直角坐标系和单位圆）

教师：可以得到什么结论？

学生：cos（75°-15°)=cos75°cos15°+sin75°sin15°

教师：如果这个结论可以推广到一般的形式，那么一般形式是什么呢？

学生：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

教师：那这就是我们这一节的任务：验证这个式子是否成立。

（板书：3.1.1两角和与差的余弦）

（二）类比特殊情况，继续创设问题，探究两角差的余弦公式

教师：能不能借助刚才的研究方法来研究任意角α，β呢？

（学生自主探究。在探究的过程中引导学生分两种情况来研究：①若α∈[0，2π），β∈[0，2π），不妨设α＞β；②若α，β是任意角，则存在α0，β0∈[0，2π），使得α=α0+2k1π，β=β0+2k2π，其中k1，k2∈Z）

教师：任意的两个角你觉得在什么范围内可以方便地在单位圆内显示出两角的大小关系呢？

学生：[0，2π）。

教师：回答得很好。那么两个角的大小对他们差的余弦值有没有影响？

学生：没有，因为cos（α-β）=cos（β-α）。

教师：非常好，试一试能否类比刚才15°,75°角的方法得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

（学生尝试得出结论）

教师：但是角α，β是任意角，如何把刚才的结论推广到任意角的范围呢？

学生：若α，β是任意角，则存在α0，β0∈[0，2π），使得α=α0+2k1π，β=β0+2k2π，其中k1，k2∈Z，cos（α-β）=cos（α0-β0）最终得出结论：对任意角α，β，有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立。

（三）利用已知结论，探究两角和的余弦公式

教师：能否利用刚才推出的两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式呢？

（学生思考，探究推导）

学生：cos（α+β）=cos[α-（-β）]

（四）巩固延伸，拓展应用

例1：利用两角和（差）的余弦公式，求

（1）cos15°

目的：正用公式，解决前面不能解决的问题。

例2：化简

（1）cos24°cos36°-sin24°sin36°

（2）sin25°cos115°-sin65°sin115°

目的：逆用公式，体会数学学习中的灵活性。

三、案例反思

（一）设置的问题要具有启发性、层次性、激励性、体验性

“问题是数学的心脏。”有效的问题设置至少要符合四个基本特征：一要有启发性，设置的问题要能够启发学生思考，让学生产生共鸣，让他们积极去寻找解决办法或答案。二要有层次性，问题的设置要由易到难，引导学生一步步走向目标，达到一节课的目的。三要有激励性，设置的问题要能够激发学生强烈的求知欲望，调动他们的思维，产生学习兴趣。四要有体验性，问题的设置应该顾及全班不同层次的学生，让每一位学生都能参与到学习中，体验知识形成的过程。

但是，本节课虽然经过精心的准备，还是有瑕疵，需要提醒各位同仁注意。比如，在最开始引入的时候，因为和前面三角函数知识相距较远，学生一时反应不过来，对点P，Q应该在单位圆上什么地方有些不清楚，这是课前预习工作没有做好。应该先提前复习一下三角函数的相关知识，或者提前用几个问题慢慢引导。

（二）给学生合适的时间

课堂的主体是学生。教师给出的每一个问题，都需要给学生一段时间思考，甚至要给学生小组交流合作讨论的时间，这样他们才不会感觉到知识产生得突兀和生硬。在这个过程中，教师的作用是引导，引导他们探究出正确结果。学生有了自己的思考，又有教师的引导和点拨，思维才会更加活跃，产生智慧的火花。所以，教师要杜绝害怕“冷场”的心理，尤其是公开课的时候更是要敢于给学生冷静的思考时间。

（三）允许不同的声音存在

世界上没有哪两片叶子是完全一样的，学生也是如此。不可能每个人都按照教师的预定安排思考，在上课的过程中肯定会对同一个问题产生不同的答案，有些是教师希望得到的答案，但有些是偏离了“轨道”的答案，这个时候我们应该耐心倾听学生的想法。因为不同思维方法和观点的激励碰撞才是课堂教学的精髓所在，这个过程也是师生互相了解、互相学习的过程。不能把课堂教学的目的定位为得到正确答案，这是最狭隘的教育。教师倾听完学生的想法后要做一些适当的点评，一方面可以纠正学生思考中存在的问题，另一方面可以鼓励学生积极思考。教师要鼓励学生这种乐于表达的做法，让更多的学生向他们学习，主动思考，积极探索。

（四）营造一个民主宽松的课堂氛围

学生虽然是坐在讲台下面听教师讲课，但是要把他们的地位和教师等同。因为他们也是作为独立的个体存在，每一个学生都有自己独特的思维方式。这就需要在课堂教学中，做到师生融洽、感情交流，充分尊重学生人格，关心学生的发展，营造一个民主、平等、和谐的氛围，及时恰当地激励学生，使学生在认知和情意两个领域有机结合，促进学生的全面发展。

责任编辑范 李杰杰

陈慧（1972—），女，江苏句容人，南京市燕子矶中学，中学一级教师，研究方向为中学数学教学。