复习课中培养初中生数学交流素养的四点认识

曾宝君+廉春雷

数学复习课的主要功能是梳理知识结构、查缺补漏、总结概括主干方法、串联规律形成经验等。在复习课的教学活动中，教师应先借助精准设问，有序引导学生梳理知识结构，促进学生深入交流数学认识；然后展示知识生长过程，引领学生有效串联主干知识与学习经验，创造情境让学生领悟模型变式的内在规律以凸显数学交流的核心价值，从而培养学生的数学交流素养。

“培养初中生数学交流素养的方法研究”课题组针对《相似三角形复习》一课（教师B、教师G分别主讲），设计了四个话题，并进行分组研讨和总结交流：①在知识结构梳理阶段，如何引导学生通过交流形成对核心知识与技能的整体认识？②在查缺补漏加深对核心知识与技能的掌握阶段，如何有效组织学生通过讨论来发现、纠正可能对概念（性质）造成的误解？③在例题学习中，教师如何通过学生的交流分析出他们的数学思维并把学生的交流经验进行串联，引导学生反刍解题方法？④在帮助学生将解题经验串联与拓展阶段，怎样引导学生进行自我评价，以及学习和评价他人的解题方法与策略？

教师B和教师G虽然各自独立设计，但两份教学设计的理念与做法有不少地方是“英雄所见略同”的。例如：都注重复习课上知识点的梳理，都利用思维导图引导学生形成知识网络；都采用阶梯式设问分解探究性问题的难度；都利用小组合作方式，组织学生讨论问题、回答问题、展示结果。对照数学交流素养结构（图1），可以发现：采用阶梯式设问便于学生有序“接收数学信息”，利用思维导图有利于学生概览“加工数学信息”，通过小组合作搭建交流平台，有利于学生“表达数学看法”和“研讨探索数学观点”。下面以这两节课为例，着重探讨教师在组织学生开展交流活动中的重要作用。

一、精准设问才能有序引导学生梳理知识结构

复习课的核心功能之一是“理”。对相似三角形全章的知识、技能、方法和学习经验进行系统梳理、分类和整合，在疏通来龙去脉、厘清内在联系的同时，通过查缺补漏，才能形成对核心知识与技能的整体认识。在该阶段，教师只有精准把握数学问题的广度和深度，才能引导学生有序思考，提高表达与交流的针对性和有效性。

案例1 复习导入环节的设计。

教师B的设计：请回顾三角形相似的基础模型“A型”的分类方法，在下面图形中画出“A型”相似的所有示意图。

教师B给每位学生发放了学案，学案上呈现上述五个三角形；同时，教师B在黑板上也同样事先画好这五个三角形。

教师B的学生作答：学生在黑板上板演结果如图2-1-1至图2-5-1。

教师G的设计：如图，在△ABC中，∠C>∠B，D是边AC上一点，在AB边上画出一点E，连接DE，使以A、D、E三点为顶点的三角形与△ABC相似。

教师G给每位学生发放了学案，学案上呈现的是图3；同时，教师G在黑板上也同样事先画好图3。

教师G的学生作答：学生在黑板上的同一个图中的板演结果如图3-1所示。

学生作答診断：教师B的学生画出5种图形，其中图2-4-1是图2-3-1的特例，而图2-2-1与图2-5-1的画法则是错误的。由于教师给出了5个图形，学生潜意识地认为应该有5种情况，所以尽量把想到的情况都画上去；特别是题目条件中并没有说明边AB、AC的大小关系，因此，学生就生硬地套用分类思想，画出图2-2-1与图2-5-1。教师组织学生相互点评作答情况时，学生因对问题的理解不一致，导致交流效果不理想。

教师G在设计问题时添加了“∠C>∠B，D是边AC上一点”的条件限制，因此学生在同一个图形上画出了三种情况，其中E2是错误的。教师组织学生相互点评作答情况时，学生通过交流很容易排除点E2不符合要求。

改进建议：本环节的设计目的均是采用开放性问题引出“A”型相似的基本构图。教师B只需要在条件中添加“如图”（适当缩小问题广度，强调AB>AC），然后将“图2-2”至“图2-5”标注为“备用图1”至“备用图4”（适当明确问题宽度），并提醒学生根据需要选择备用图的使用个数。这样修改后，既可以开放性地检查学生的思维状况，又可以较快地进行思维归类，还有利于后续将“A型平行相似”和“A型斜交相似”做更多相似变式。关于教师G，建议在黑板上画出2～3个备用图，为后续图形变式做好准备（适当调整问题的延展性）。

由此可见，师生交流、学生间的交流可以顺畅高效进行的关键之一，是教师设计的问题是否精准合理。设问适当，不仅可以引导学生顺利展开思考，还可以使学习主线更突出，特别是可以让课堂宝贵的时间用于解决更重要的问题。

二、直观感知和逻辑推理并用才能促进数学认识的深入交流

复习课承担着“查缺补漏”的重要责任，当学生作答错误时，引导学生通过自我反思、交流、同伴互助等方式认识错误原因、纠正错误，这往往比教师点评印象更深刻。几何复习时，教师还需要引导学生注意图形直观感知、几何逻辑推理的相结合，综合剖析思维上的困惑或误区，并加以更正。

案例2 图2-2-1的错误溯源。

教师B、教师G的课堂上，学生作答都出现了点D位于平行线下方的情况。两位教师主要采用直观观察的方式引导学生观察图形， 判断图2-2-1中∠AED>∠ADE，∠AED>∠C，而∠C>∠B，在这样的情况下，不可能出现“错位对应”。

但是，这里“通过观察得到的∠AED>∠ADE”是基础的结论，还是让学生有这样的困惑：是否只能如图2-3-1一样过E点“往上偏”，而不能如图2-2-1一样“向下偏”呢？这一直观思维还需要逻辑推理来证实。

可以充分借助学生的正确答案图2-1-1来证明图2-2-1是错误的。

如图2-2-1-1，假设 △ADE∽ACB。过点E作ED1∥BC交AD于D1，显然∠1=∠B。

∵ ∠1是△D1DE的一个外角，

∴ ∠1>∠2；

∵ △ADE∽ACB，

∴ ∠2=∠C；

∵ ∠1=∠B，∠1>∠2，∠2=∠C；

∴ ∠B>∠C。

这与已知∠C>∠B相矛盾，故假设不成立，即此时点D不符合要求。

通过上述逻辑论证，结合直观观察，只有过E点“向上偏”，才能产生大于∠1的角，从而得到图2-3-1。这样，教师通过适当引导，让学生在对他人观点和自己观点进行评价反思的基础上，进一步拓展、延伸对数学现象的本质认识，从而使数学交流更加深刻。

三、展示知识生长过程才能引领学生有效串联主干知识与学习经验

复习课不仅要查缺补漏、展现知识结构，更要体现知识的生长过程，这样才能让学生在知识系统中有机构建思维通道，掌握问题生成、发展和解决的一般方法。

三角形相似的复习课堂上，两位教师在总结归纳了“A”型相似模型后，随后均出示了“X”型相似的基础模型，再用例题引出“M”型相似模型。这种设计虽然将相似三角形的基本图形变式进行了归纳，但对揭示基本图形变式之间内在关联的强调不够，学生对这些图形的认识难免停留在零散层面，不利于学生运用联系、动态的观点整体认识相似三角形，灵活转换、加工各种有效信息。

图4展示的是三角形相似基础图形变式的思维导图。由“A”型相似的平行相似、斜交相似，演变为“X”型相似的平行相似、斜交相似，再由“X”型相似的平行相似分离公共顶点变形为“M” 型相似的三等锐角、三直角、三等钝角模型，若能采用几何画板动态演示这些基础图形的变式过程，则可以进一步加深学生对基本图形变式之间内在关联的理解与掌握，完善相似三角形判定方法的知识网络结构。

四、领悟模型变式的内在规律才能凸显数学交流的核心价值

复习课还有一个重要价值，就是对已学过的知识进行综合研究，不仅要顺利地把相似三角形的相关知识串联起来形成知识网络图，还要善于根据具体问题及时提取三角形相似的相应模型解决问题，特别是从陌生情境中准确识别三角形相似的基础模型。这种能力的培养和形成，既需要平日学习经验的积累，更需要复习课上师生之间、学生之间交流活动的集中领悟。

案例3 由“M”型相似模型到“一线三等角”模型。

在图4中，由“X”型相似变形为“M”型相似，教师需要引导学生在仔细观察的基础上通过讨论交流，归纳出：这类图形在保持三角形相似性不变的变换过程中还有哪些数量关系保持不变？学生通过相互纠错、交流反思、总结提炼，可以发现“M”型相似模型中，相似三角形位于一条直线的同侧，且相似三角形中顶点在同一条直线上的等角所对的边夹角也等于等角。因此，这种模型可以称为“一线三等角”模型。

由“M”型相似模型变形为外“M”型相似模型，教师同样需要让学生在独立观察的基础上研究，在保持三角形相似性不变的变换过程中还有哪些数量关系保持不变？外“M”型相似模型是否可以由三直角变形为三等锐角、三等钝角？学生通过独立作图摸索、同伴交流、概括提炼后，可以得出外“M”型相似模型中，相似三角形位于一条直线的两侧，且相似三角形中顶点在同一条直线上的等角所对的边夹角也等于等角。因此，這种模型同样也可以称为“一线三等角”模型。

经过这样的探索与交流、复习与总结之后，学生才能深刻认识模型变式中的不变特征，准确理解相似三角形的“M”型、外“M”型的模型特征。