高中数学课标卷函数导数部分解题策略

侯福红

【摘 要】基于函数导数在高中数学新课标卷中占据分数份额较大，而学生在学习过程中又由于多种原因陷入学习困境的情况。针对函数导数部分内容，作详细的解题策略研究，在当前高中数学教学中具有重要的现实意义。

【关键词】高中数学；函数；导数

引言

数学作为一门科学，在许多领域发挥着重要作用，同时也在高中教育中占据核心地位。导数是微积分的核心内容之一，是高中数学的重要组成部分，是每一年的高考重点关注的对象，占据分数颇大。但是，在具体教学过程中，许多高中生因为不同因素导致学习遭遇困境，尤其是在函数导数部分学习极为坎坷，因此，本文就高中数学中的函数导数部分内容，实例分析解题技巧和策略。

一、利用导数研究函数的单调性和极值

函数的单调性即该函数在一定范围的图象曲线的走向，若函 数图象曲线向上，则为单调递增，反之则为单调递减。一个函数的单调性与其导数联系紧密，定理如下：在区间（a，b）内，若f′（x）>0，那么函数y=f（x）在该区间内单调递增；若若f′（x）<0，那么函数y=f（x）在该区间内单调递减。

例1：已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4

（1）求函数y=f（x）的表达式

（2）求函数y=f（x）的单调区间和极值

解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c得f′（x）=3x2+2ax+b

由题意得x=1和x=-1是f′（x）的根，得a=0，b=-3

由f（-2）=-4得c=-2

所以f（x）=x3-3x-2

（2）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）

当x<-1时，f′（x）>0

当x=-1时，f′（x）=0

当-1

当x=1时，f′（x）=0

当x>1时，f′（x）>0

所以，f（x）在区间[-∞，-1]上为增函数；在[-1，1]上是减函数；在[1，+∞]上是增函数。函数f（x）的极大值是f（-1）=0，极小值是f（1）=-4。

在例1中，第二个问题即求函数的单调区间以及极值，我们可以很容易从例子中看出，当函数的导数在某一区间内大于零时，函数在这个区间内单调递增；相应的，当函数的导数在某已区间内小于零时，函数在这个区间单调递减。因此，在解题过程中， 当学生遇到求函数的单调性以及极值的时候，可以利用求导的方式求出该函数的导数，通过导数判断其单调性和极值。

二、利用导数求函数的最值

函数的极小值和极大值与函数的最大值和最小值是两个不同的概念。极小或极大值都是反映函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性質。也就是说，极小值和极大值不能代表函数的最大值和最小值。但是在求函数的最大值和最小值的过程中，却需要借助极小值和极大值。

例2：求f（x）=y=x4-8x2+2在[-1，3]上的最值

解：由y=x4-8x2+2得y′=4x3-16x=4x（x-2）（x+2）

令y′=0，得x=0，x=2，x=-2

代入得F（0）=2，f（2）=-14，f（-1）=-5，f（3）=11

由于x=-2不在区间[-1，3]中，因此不予考虑。

所以f（x）在区间[-1，3]中的最小值为f（2）=-14，最大值为f（3）=11。

一般情况下，求某一个函数在某区间内的最值，可先求出该函数在区间内的极值，再将求出的各极值与该函数在端点处的函数值比较，最大的则为函数的最大值，最小的则为函数的最小值。

三、构造函数证明不等式

构造函数简单来说就是一种解题方法，是基于具体数学题目，构造符合题目的函数模型，并通过该函数模型解决数学题目的方法。在解题过程中通过构造函数方法可以有效得出答案，如应用于证明不等式中。

例3：已知函数f（x）=x2/2-ax+（a-1）㏑x，a>1.

（1）略

（2）证明；若a<5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有 f（x1）-f（x2）/x1-x2>-1。

解：f'（x）=x﹣a+（a-1）/x=（x2-ax+a-1）/x=（x-1）（x+1-a）/x

g（x）=f（x）+x=x2/2-ax+（a-1）㏑x+x

∴g'（x）=x-（a-1）+（a-1）/x≥2-（a-1）=1-（-1）2

∵1

∴g'（x）>0，即g（x）在（0，+∞）单调递增

∴当x1>x2>0时，g（x1）-g（x2）>0

故f（x1）-f（x2）/x1-x2>-1

当0-1。

例3中，如果只是按照常规思路进行解题，难度较大，但是通过构造函数g（x）解题，很大程度上降低了解题难度。

四、注意事项——定义域

在利用导数研究函数的过程中， 无论是求极值还是最值，亦或是求函数的单调区间或者研究函数的单调性，一定要注意申清题目，看清楚题目中的定义域。搞混、弄错或者直接忽略定义域，都将导致学生解题错误。因此，同学们在解题之前应认真审题，严格按照题目要求进行解题，不得混淆题目意思，不得马虎了事。

结束语

导数是微积分的核心内容，是高中数学不可或缺的内容体系。导数作为一种工具，是高中铸错知识的交汇点，在解决函数等问题时发挥了非常优越的作用，是研究函数、解决函数问题的最主要、最有效的工具[2]。因此，在高中数学教学中，应重视导数的教学，通过例题讲解将导数以及相关概念与具体解题过程联系起来，充分发挥导数的工具性作用，从而改善学生学习函数时遭遇的困境，提高学生学习效果。

【参考文献】

[1]付禹.高中生学习导数及其应用时的困难点研究[D].东北师范大学，2015

[2]杨晓转.普通高中“导数及其应用”教学设计研究[D].西北师范大学，2014