Euler方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)(k1≠k2)的正整数解

张四保， 官春梅， 席小忠

(1.喀什大学 数学与统计学院 新疆 喀什 844008； 2.宜春学院 数学与计算机科学学院 江西 宜春 336000)

Euler方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)(k1≠k2)的正整数解

张四保1， 官春梅1， 席小忠2

(1.喀什大学 数学与统计学院 新疆 喀什 844008； 2.宜春学院 数学与计算机科学学院 江西 宜春 336000)

讨论了一个形如φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)(k1≠k2)的具体方程φ(xy)=5φ(x)+7φ(y)的可解性，给出了其一切整数解.并根据这一方程的解的情况，给出了(x,y)=(k1+k2,k1+k2)是方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)(k1≠k2)的1组整数解的结论，这里的k1，k2都是正整数.

Euler函数； 可解性； 整数解

0 引言

方程整数解的研究是数论研究中的一个重要课题之一，其研究内容与成果也很丰富[1-3]，令φ(n)为Euler函数是数论研究中的一个重要函数.关于包含Euler函数φ(n)的方程的研究有着丰富的研究成果[4-9].对于形如

φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)，(k1，k2是正整数)

(1)

的讨论，大多文献讨论的都是当k1=k2的情况，即讨论的是形如φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))的方程.文献[10]研究了当k为素数时，方程φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))的正整数解，并给出了当k=3时其所对应方程的部分正整数解.文献[11]研究了方程φ(xy)=3(φ(x)+φ(y))的可解性，并给出其全部的35组正整数解.文献[12]研究了方程φ(xy)=7(φ(x)+φ(y))的可解性，并给出了其全部的15组正整数解.本文将讨论形如方程(1)的具体方程的一切整数解问题.并根据这一具体方程解的情况，给出了方程(1)中有(x,y)=(k1+k2,k1+k2)解的结论.

φ(xy)=5φ(x)+7φ(y)

(2)

1 引理

引理3[13]当n≥3是整数，则φ(n)为偶数．

引理4[14]方程φ(x)=14无正整数解.

2 定理及其证明

定理1 方程(2)有整数解(x,y)=(43, 7)，(43, 9)，(43, 14)，(43, 18)，(49, 9)，(49, 18)，(86, 7)，(86, 9)，(98, 9)，(13, 21)，(13, 28)，(13, 36)，(13, 42)，(21, 13)，(21, 26)，(26, 21)，(28, 13)，(36, 13)，(42, 13)，(15, 41)，(15, 82)，(15, 88)，(16, 41)，(16, 55)，(16, 75)，(20, 41)，(24, 41)，(24, 55)，(30, 41)，(14, 18)，(18, 14)，(8, 50)，(8, 66)，(10, 44)，(10, 66)，(12,50)，(15, 24)，(24, 15)，(12, 44)，(12, 12).

证明 对于方程(1)，设gcd(x,y)=d，则由引理1可知，存在x1,y1∈Z+,使得φ(x)=x1φ(d)，φ(y)=y1φ(d). 再由引理2，有φ(xy)=x1y1dφ(d).结合方程(1)，有d=k1y1-1+k2x1-1.由于k1≠k2，不妨设k12k2，则有2k2

在方程(2)中，k1=5，k2=7.因而，只需考虑gcd(x,y)=d∈[1,14]的情况.

当x1=42，y1=6时，有φ(x)=x1φ(d)=42，φ(y)=y1φ(d)=6.因而有x=43,49,86,98，y=7,9,14,18. 因而，此时方程(2)有整数解(x,y)=(43, 7)，(43, 9)，(43, 14)，(43, 18)，(49, 9)，(49, 18)，(86, 7)，(86, 9)，(98, 9).

当x1=14，y1=10时，有φ(x)=x1φ(d)=14，φ(y)=y1φ(d)=10.由引理4可知，方程(2)无整数解.

当x1=y1=12时，有φ(x)=x1φ(d)=12，则x=y=13,21,26,28,36,42.方程(2)有整数解(x,y)=(13, 21)，(13, 28)，(13, 36)，(13, 42)，(21, 13)，(21, 26)，(26, 21)，(28, 13)，(36, 13)，(42, 13).

当x1=8，y1=40时，有φ(x)=x1φ(d)=8，φ(y)=y1φ(d)=40.因而有x=15,16,20,24,30，y=41,55,75,82,88, 100,110,132,150. 因而，此时方程(2)有整数解(x,y)=(15, 41)，(15, 82)，(15, 88)，(16, 41)，(16, 55)，(16, 75)，(20, 41)，(24, 41)，(24, 55)，(30, 41).

当x1=21，y1=3时，有φ(x)=x1φ(d)=21，φ(y)=y1φ(d)=3.由引理3可知，此时方程(2)无整数解.同理，当x1=7，y1=5时，方程(2)亦无整数解.

当x1=y1=6时，φ(x)=φ(y)=6，有x=y=7,9,14,18.方程(2)有整数解(x,y)=(14, 18)，(18,14).

当x1=4，y1=20时，有φ(x)=x1φ(d)=4，φ(y)=y1φ(d)=20.因而有x=5,8,10,12，y=25,33,44,50,66.因而，此时方程(2)有整数解(x,y)= (8, 50)，(8, 66)，(10, 44)，(10, 66)，(12, 50).

当x1=14，y1=2时，有φ(x)=x1φ(d)=28，φ(y)=y1φ(d)=4.因而有x=29,58，y=5,8,10,12. 由于，以上x，y的值没有满足gcd(x,y)=3. 因而，此时方程(2)无整数解.

当x1=4，y1=4时，有φ(x)=x1φ(d)=y1φ(d)=8.因而有x=y=15,16,20,24,30. 因而，此时方程(2)有整数解(x,y)=(15, 24)，(24, 15).

当x1=3，y1=3时，有φ(x)=x1φ(d)=y1φ(d)=6.因而有x=y=7,9,14,18. 由于以上x，y的值没有满足gcd(x,y)=3. 因而，此时方程(2)无整数解.

当x1=2，y1=10时，有φ(x)=x1φ(d)=4，φ(y)=y1φ(d)=20.因而有x=5,8,10,12，y=25,33,44,50,66. 因而，此时方程(2)有整数解(x,y)=(12, 44).

当x1=7，y1=1时，有φ(x)=x1φ(d)=14，φ(y)=y1φ(d)=2.由引理4可知，此时方程(2)无整数解.

当x1=2，y1=2时，有φ(x)=x1φ(d)=y1φ(d)=4.因而有x=y=5,8,10,12.方程(2)无整数解.

综合以上讨论，可得本文结论. 证毕.

在定理1中，当k1=5，k2=7时，方程(2)有解，(x,y)=(12,12)，此时k1+k2=12.那么，对于任意的正整数k1,k2，方程(1)是否一定有(k1+k2,k1+k2)这一组解.为此，证明了以下结论.

定理2 对于任意的正整数k1,k2，(x,y)=(k1+k2,k1+k2)是方程(1)的1组解.

3 结语

本文讨论了当k1=5，k2=7时方程φ(xy)=5φ(x)+7φ(y)的解问题.而对于其他的正整数k1,k2，效仿定理1中方程的讨论，同样可以得到相对应方程的解，只不过当k1,k2中有一数略大时，需分2 max{k1,k2}种情况讨论.

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(责任编辑：方惠敏)

The Integer Solutions of Euler Equationφ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)(k1≠k2)

ZHANG Sibao1, GUAN Chunmei1, XI Xiaozhong2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,KashgarUniversity,Kashgar844008,China;2.InstituteofMathematicsandComputerScience,YichunCollege,Yichun336000,China)

The solvability of a specific equationφ(xy)=5φ(x)+7φ(y),such asφ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y),was discussed.And all integer solutions were given. According to the condition of its solutions, a conclusion that (x,y) = (k1+k2,k1+k2) was a positive integer solution of equationφ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y) was given, wherek1≠k2, andk1,k2were positived integers.

Euler function; solvability; integer solution

2016-08-11

国家自然科学基金项目(11201411)；喀什大学校内项目(142513)．

张四保(1978—)，男，江西峡江人，副教授，主要从事数论研究，E-mail:sibao98@sina.com.

O156

A

1671-6841(2017)01-0007-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016200