椭圆内特定三角形面积问题若干解法

余依蓝

提出问题：在椭圆中，我们常会碰到一类求原点和椭圆上含两点所围成三角形面积最大值的问题，经探索，对任意椭圆都有以下结论：

椭圆 内，原点 与椭圆上两点 构成三角形面积最大值

法一：常规计算法

该方法通过聯立，求出 两点间距离与 到直线 间距离，从而得到关于面积的不定方程，该方法思维量小，计算量大。具体计算中应注意号步骤中 不要简化，保留 以构建不等式。

证明：

法二：设点法

该方法直接设出 点坐标，求出面积表达式。

关键在于以后如何利用 为椭圆上的动点，利用椭圆方程求出三角形面积最值。

设

解法Ⅰ：利用三角换元求最值

解法Ⅱ：利用柯西不等式求最值

法三：圆化法——将圆视为椭圆倾斜一定角度后的投影，将椭圆转化为圆进行求解

建立新坐标系 ，使 ， ，可得 平面中平面中的椭圆 在 中投影曲线方程为 ，直线 的投影为 ，

在圆内 ，

最后，由面积投影公式可知：

∴

该方法思维量较大，但胜在计算量小，求解更直接。若在解题过程中了解这一背景及其解题方法，许多复杂的问题都能迎刃而解。