浅析“类似人船模型”问题的求解方法

王永源

“人船模型问题”是力学中动量部分司空见惯的问题，可有一些问题从表面上不易看出属于“人船模型”问题，但由于这类问题往往涉及相对运动，不易求解速度之间的关系，所以对于部分学生来讲求解和分析此类问题时感觉非常棘手。但由于此类问题本质上是属于“人船模型”问题，所以采取人船模型问题的求解方法进行解答往往得到事半功倍的效果。现举例如下：

一、斜面上的情况问题

如图1所示，质量为M的斜面体长为L，倾角为θ。一个质量为m且可以看作质点的小物块从斜面体的最高点由静止释放，一切摩擦均不计，求小物块下滑过程中斜面体的位移？

解析：将m和M作为一个系统，系统水平方向不受外力，所以系统水平方向动量守恒。其实这两个物体组成的系统水平方向属于“人船模型”，不妨称之为“类似人船模型”，简称为“类人船模型”。

设小物块在下滑过程中斜面体的位移大小为x，方向是水平向右的。则小物块在下滑过程中的水平位移大小为L-x，任一时刻m的水平速度为v1，M的水平速度为v2。

由水平方向的动量守恒可得：mv1=Mv2，

设微小时间为Δt，则mv1Δt=Mv2Δt，m？鄱（v1Δt）=M？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。

即小物块下滑过程中斜面体的位移大小为■，方是水平向右的。

二、竖直方向上的情况问题

如图2所示，气球和梯子用不可伸长的绳子连接，总质量为M，质量为m的人站立在梯子的最下端，悬在空中静止不动。不考虑刮风的情况，若此人沿梯子向上爬的距离为L，最后仍站立在梯子上。求在此人向上爬的过程中梯子的位移？

解析：将气球、绳子、梯子和人作为一个系统，竖直方向合外力为零，所以竖直方向动量守恒，其实质属于竖直方向的“类人船模型”问题。

设此人在向上爬的过程中梯子的位移为x，方向竖直向下，则人竖直向上的位移为L-x，任一时刻m的竖直速度为v1，M的竖直速度为v2。

根据竖直方向上动量守恒可得：mv1=Mv2，

设微小时间为Δt，则mv1Δt=Mv2Δt，

m？鄱（v1Δt）=m？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。

即在此人向上爬的过程中梯子的位移大小为■，方向竖直向下。

三、一般情况问题

1.如图3所示，光滑水平杆上套一质量为M的环，现用一长度为L且不可伸长的轻质细绳将环与一质量为m可视为质点的小球相连接。将小球拉至与环等高且细绳被拉直时由静止释放，不计空气阻力。求小球运动到最低点的过程中环的位移？

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解析：将环、细绳和小球作为一个系统，水平方向不受外力，所以水平方向动量守恒，其实质属于水平方向上的“类人船模型”问题。

设小球从释放到运动至最低点的过程中环的位移为x，方向水平向右。则小球在水平方向上的位移大小为L-x，任一时刻m的水平速度为v1，M的水平速度為v2。

根据系统水平方向上的平均动量守恒得：mv1=Mv2，

设微小时间为Δt，则mv1Δt=Mv2Δt，m？鄱（v1Δt）=M？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。即小球运动到最低点的过程中环的位移大小为■，方向是水平向右的。

2.如图4所示，质量为M带有半径为L的半圆光滑凹槽静止在光滑的水平面上，一个质量为m可视为质点的小球从槽的右边缘最高点由静止释放。求小球第一次运动到最低点时凹槽的位移？

解析：将小球和凹槽作为一个系统，水平方向不受外力，所以水平方向动量守恒，其实质属于水平方向的“类人船模型”问题。

设小球从静止释放到运动至最低点的过程中凹槽的位移大小为x，方向水平向右。则小球在此过程中水平方向的位移大小为L-x，任一时刻m的水平速度为v1，M的水平速度为v2。

根据系统水平方向的动量守恒可得：mv1=Mv2，

设微小时间为Δt，

则mv1Δt=Mv2Δtm，

m？鄱（v1Δt）=M？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。即小球第一次运动到最低点的过程中凹槽的位移大小为■，方向水平向右。

总之，我们在学习过程中要善于总结和归纳，采取类比和分析的方法对遇到的问题从本质深处挖掘信息，才能做到举一反三，从而达到多题一解的效果。

（作者单位：河南省郑州外国语枫杨高中）