2017年高考数学模拟试题

2017-04-06蔡勇全

中学生理科应试 2017年1期

关键词：极坐标二面角中奖

蔡勇全

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.复数z=m-2i1+2i（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（）.

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.集合A=x|x<0，B={x|y=

lgxx+1}，若A-B=x|x∈A，且xB，则A-B=（）.

A.x|x<-1B.x|-1≤x<0

C.x|-1

3.已知O是锐角ΔABC的外心，若OC=xOA+yOB（x，y∈R），则（）.

A.x+y≤-2B.-2≤x+y<-1

C.x+y<-1D.-1

4.已知在圆x2+y2-4x+2y=0内，过点

E1，0的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）.

A.35B.65C.415D.215

5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）.

A.24种B.36种C.48种D.60种

6.某几何体的正视图、侧视图、俯视图如图1所示，若该几何体的各个顶点在同一个球面上，则该球体的表面积是（）.

A.24πB.12π

C.6πD.3π

7.如果当x=π4时，函数fx=Asinx+φ（A>0）取得了最小值，那么函数y=fπ4-x是（）.

A.奇函数且图象关于点π2，0对称

B.偶函數且图象关于直线x=π2对称

C.奇函数且图象关于直线x=π2对称

D.偶函数且图象关于点π2，0对称

8.某算法的程序框图如图2所示，则输出S的值是（）.

A.6

B.24

C.120

D.840

9.设α为锐角，且2tanπ-α-3cosπ2+β+5=0，tanπ+α+6sin（π+β）=1，则sinα的值是（）.

A.355B.377

C.31010D.13

10.甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（）.

A.16B.13C.1136D.1536

11.过曲线C1：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点F1做曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p>0）于点N，其中C1、C3有一个共同的焦点，若MF1=MN，则曲线C1的离心率为（）.

A.5B.5-1C.5+1D.5+12

12.若对于x，y∈0，+∞，不等式4ax≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立，则实数a的最大值是（）.

A.14B.1C.2D.12

二、填空题（本题共4小题，每小题5分）

13.A，B，C，D四人猜测自己所买彩票的中奖情况.

A说“如果我中奖了，那么B也中奖了.”

B说“如果我中奖了，那么C也中奖了.”

C说“如果我中奖了，那么D也中奖了.”

结果三人都没有说错，但是只有两人中奖了，这两人是.

14.x2+a2x2+2a4展开式的常数项为280，则正数a=.

15.在ΔABC中，∠B=45°，D是BC边上一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为.

16.已知函数fx=x2+2x，x≤0，fx-1+1，x>0.当x∈0，100时，关于x的方程fx=x-15的所有解的和为.

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）在数列an中，前n项和为Sn，且Sn=nn+12.

（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bn=an2n，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的取值范围.

18.（本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为13，乙每次投中的概率为14.

（Ⅰ）求甲投篮三次恰好得三分的概率；

（Ⅱ）假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X是甲这次投篮得分减图3去乙这次投篮得分总和的差，求随机变量X的分布列.

19.（本小题满分12分）如图3所示，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=12CD，M是线段AE上的动点.

（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）动点Mx，y与定点F1，0的距离和它到直线l∶x=4的距离之比是常数12，O为坐标原点.

（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹E是什么图形？

（Ⅱ）已知圆C的圆心在原点，半径长为2，是否存在圆C的切线m，使得m与圆C相切于点P，与轨迹E交于A、B两点，且使等式AP·PB=OP2成立？若存在，求出m的方程；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）已知函数f1x=12x2，f2x=alnx（其中a>0）.

（Ⅰ）求函数fx=f1xf2x的极值；

（Ⅱ）若函数gx=f1x-f2x+a-1x在区间1e，e内有两个零点，求正实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：当x>0时，lnx+34x2-1ex>0（其中e是自然对数的底数）.

请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x-22+y2=4.

（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1和圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；

（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数fx=2x+1-x-3.

（Ⅰ）解不等式fx>0；

（Ⅱ）已知关于x的不等式a-3x-3<

fx恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题

1.A2.B3.C4.D5.D6.C7.D8.C9.C10.C11.D12.D

二、填空题

13.C，D 14.2 15.562 16.10000

三、解答题

17. 解（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nn+12-

n-1n2=n，经验证，a1=1满足上式，故数列an的通项公式an=n.

（Ⅱ）由题意，易得Tn=12+222+323+…+n2n，则12Tn=122+223+324+…+n2n+1，两式相减，得Tn-12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1，所以Tn=2-n+22n.由于Tn+1-Tn=n+12n+1>0，則Tn单调递增，故Tn≥T1=12，又Tn=2-n+222<2，故Tn的取值范围是12，2.

18.解（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次未投中，∵甲投篮三次投中的次数x～B3，13，∴Px=1=C13×13×1-132=49，甲投篮三次恰好得三分的概率为49.

（Ⅱ）设甲投中的次数为m，乙投中的次数为n，则

①当m=0，n=2时，X=-6，PX=-6=23×C22×142=124；

②当m=1，n=2或m=0，n=1时，X=-3， PX=-3=13×142+23×C12×14×34=1348 ；

③当m=1，n=1或m=0，n=0时，X=0，PX=0=13×C12×14×34+23×C02×342=12.

④当m=1，n=0时，X=3，PX=3=13×C02×342=316.

∴X的分布列为

X-6-303

P124

134812

316

19. 解（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF.证明如下：

如图4，连接CE，交DF于N，连接MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，由于MN平面DMF，又AC平面DMF，所以AC∥平面DMF.（Ⅱ）方法一如图5，过点D做平面DMF与平面ABCD的交线l，由于AC∥平面DMF，可知AC∥l，过点M做MG⊥AD于G.

因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，则平面ADE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，过G做GH⊥l于H，连接MH，则直线l⊥平面MGH，所以l⊥MH，故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角.设AB=2，则DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×25=25，MG=12DE=1，则MH=252+12=35，故cos∠MHG=GHMH

=25÷35=23，即所求锐二面角的余弦值为23.

方法二因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE两两垂直，分别以DA，DC，DE的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.如图6所示.

设AB=2，则M1，0，1，F0，4，2，DM=1，0，1，DF=0，4，2，设平面MDF的法向量为n1=x，y，z，则n1·DM=0，n1·DF=0，即x+z=0且4y+2z=0，令y=1，得平面MDF的一个法向量n1=2，1，-2，取平面ABCD的法向量n2=0，0，1，由n1·n2=|n1||n2|cos可以得到cos=23.故所求锐二面角的余弦值为23.

20.解（Ⅰ）由题意得，x-12+y2x-4=12，化简得x24+y23=1，即轨迹E为焦点在x轴上的椭圆.

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）.∵OA·OB=OP+PA·OP+PB=OP2+OP·PB+PA·OP+PA·PB，由题意知，OP⊥AB，故OP·PB=0，PA·OP=0，∴OA·OB=OP2+PA·PB=

OP2-AP·PB=0.

假设满足条件的直线m存在，①当直线m的斜率不存在时，则m的方程为x

=±2，代入椭圆x24+y23=1，得y=±62，∴OA·OB=x1x2+y1y2=2-64

≠0，这与OA·OB=0矛盾，故此时m不存在. ②当直线的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+b，∴OP=b1+k2=2，即b2=2k2+2.联立x24+y23=1与y=kx+b可得3+4k2x2+8kbx+4b2-12=0，∴x1+x2=-8kb3+4k2，x1x2=

4b2-123+4k2，y1y2=kx1+bkx2+b=k2x1x2+kbx1+x2+b2=3b2-12k23+4k2，∴OA·OB=x1x2+y1y2=4b2-123+4k2+3b2-12k23+4k2=0，∴7b2-12k2-12=0，又∵b2=2k2+2，∴2k2+2=0，该方程无解，即此时直线m也不存在.

综上所述，不存在满足条件的直线m.

21.解（Ⅰ）∵fx=12ax2lnx，∴f ′x=axlnx+12ax=12ax2lnx+1（x>0，a>0），由f ′x>0得x>e-12；由f ′x<0，得0

0，e-12上单调递减，在e-12，+∞上单调递增，所以函数fx的极小值为fe-12=-a4e，无极大值.

（Ⅱ）gx=12x2-alnx+a-1x，则g′x=x-ax+a-1=x2+a-1x-ax=x+ax-1x，令g′x=0，∵a>0，解得x=1或x=-a（舍去），当01时，g′x>0，gx在1，+∞上单调递增.函数gx在区间1e，e内有两个零点，只需g1<0，g1e>0，ge>0，∴a>2e-12e2+2e，a<12，a>2e-e22e-2，故实数a的取值范围为2e-12e2+2e，12.

（Ⅲ）问题等价于x2lnx>x2ex-34，由（Ⅰ）知

fx=x2lnx的最小值为-12e.

设hx=x2ex-34，h′x=-xx-2ex，易知hx在0，2上单调递增，在2，+∞上单调递减，

∴hxmax=h2=4e2-34.

∵-12e-4e2-34

=34-12e-4e2

=3e2-2e-164e2=3e-8e+24e2>0，

∴fxmin>

hxmax，x2lnx>x2ex-34，故当x>0时，lnx+34x2-1ex>0.

22.解（Ⅰ）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐標方程为ρ=4cosθ，由ρ=2，ρ=4cosθ得ρ=2，θ=2kπ±π3，其中k∈Z，故圆C1与圆C2交点的极坐标为

2，2kπ+π3，2，2kπ-π3，其中k∈Z.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，圆C1与圆C2的交点在直角坐标系下的坐标为1，3，1，-3，故圆C1与圆C2公共弦的参数方程为x=1，y=t（-3≤t≤3）.