例析“洛必达法则”在高考数学中的应用
2017-04-06何长斌
何长斌
纵观近些年来的高考数学试题,许多省份的高考数学压轴题都是与导数的应用有关的数学问题,这类问题的特点是难度较大、综合性较强,其中求解参数的取值范围是这一类问题考查的重点题型.对于此类问题,学生的传统做法是利用分离变量法来求解,但由于这种方法往往分类的情况比较多、过程过于繁杂,学生实际操作起来非常困难,许多学生很容易漏解.且有些题型利用分离变量法解决时,还会出现“00”“∞∞”型等函数值不存在的情况,而这是大学数学中的不定式问题,若此类问题采用洛必达法则进行解决,便会迅速破解.
一、洛必达法则介绍:
法则1若函数fx 和g(x)满足下列条件:
(1) limx→afx=0 及limx→agx=0;(2)在点a的去心
邻域内,fx与g(x)可导且g′(x)≠0;(3)limx→af ′xg′x=l,那么 limx→afxgx=limx→af ′xg′x=l.
法则2若函数fx 和g(x)满足下列条件:(1)limx→∞fx=0 及limx→∞gx=0; (2)A>0,fx 和g(x)在-∞,A与A,+∞上可导,且g′(x)≠0;
(3)limx→∞f ′xg′x=l,那么 limx→∞fxgx=limx→∞f ′xg′x=l.
法则3若函数fx和g(x)满足下列条件:
(1) limx→afx=∞及limx→agx=∞;
(2)在点a的去心邻域内,fx与g(x)可导且g′(x)≠0;
(3)limx→af ′xg′x=l,那么 limx→afxgx=limx→af ′xg′x=l.
二、洛必达法则在高考试题中的应用
1.(2010年全国新课标理)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.
解析(Ⅰ)a=0时,f(x)=ex-1-x,f ′(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f ′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加.
(Ⅱ)当x=0时,f(x)=0,对任意实数a,均有f(x)≥0;
当x>0时,f(x)≥0等价于a≤ex-x-1x2
令gx=ex-x-1x2(x>0),则g′(x)=xex-2ex+x+2x3,
令 hx=xex-2ex+x+2x>0,则h′x=
xex-ex+1,h″x=xex>0,
知h′x在0,+∞上为增函数,h′x>h′0=0;知hx在0,+∞上为增函数, hx>h0=0;
∴g′x>0,g(x)在0,+∞上为增函数.
由洛必达法则知,
limx→0+ex-x-1x2=limx→0+ex-12x=limx→0+ex2=12,
故a≤12
综上,知a的取值范围为-∞,12.
2.(2011年全国新课标理)已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)如果当x>0且x≠1时,f(x)>lnxx-1+kx,求k的取值范围.
解析(Ⅰ)f ′(x)=a(x+1x-lnx)(x+1)2-bx2,由于直线x+2y-3=0的斜率为-12,且过点(1,1).故f(1)=1f ′(1)=-12,解得a=1,b=1.
(Ⅱ)由题设可得,当x>0,x≠1时,k<2xlnx1-x2+1恒成立.
令g(x)= 2xlnx1-x2+1(x>0,x≠1),
则g′x=2·x2+1lnx-x2+11-x22,
再令hx=x2+1lnx-x2+1(x>0,x≠1),则h′x=2xlnx+1x-x,h″x=2lnx+1-1x2,易知h″x=2lnx+1-1x2在0,+∞上为增函数,且h″1=0;故当x∈(0,1)时,h″x<0,当x∈(1,+∞)时,h″x>0;
∴h′x在0,1上为减函数,在1,+∞上为增函数;
故h′x>h′1=0∴hx在0,+∞上为增函数
∵h1=0
∴当x∈(0,1)时,hx<0,
当x∈(1,+∞)时,hx>0
∴当x∈(0,1)时,g′x<0,
当x∈(1,+∞)时,g′x>0∴gx在0,1上为减函数,在1,+∞上为增函数
∵由洛必达法则知:
limx→1gx=2limx→1xlnx1-x2+1
=2limx→11+lnx-2x+1=2×-12+1=0
∴k≤0,即k的取值范围为(-∞,0\].
3.(2010海南宁夏文21题)已知函数f(x)=
x(ex-1)-ax2.
(Ⅰ)若f(x)在x=-1時有极值,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
解(Ⅰ)略
(Ⅱ)当x≥0时,f(x)≥0,即x(ex-1)≥ax2.
①当x=0时,a∈R;
②当x>0时,x(ex-1)≥ax2等价于ex-1≥ax,也即a≤ex-1x.
记g(x)=ex-1x,x∈(0,+∞),则g'(x)=(x-1)ex+1x.
记h(x)=(x-1)ex+1,x∈(0,+∞),则h′(x)=xex>0,因此h(x)=(x-1)ex+1在(0,+∞)上单调递增,且h(x)>h(0)=0,所以g′(x)=h(x)x>0.
从而g(x)=ex-1x在(0,+∞)上单调递增.
由洛必达法则有
limx→0g(x)=limx→0ex-1x=limx→0ex1=1,
即当x→0时,g(x)→1.
所以g(x)>1,即有a≤1.
综上所述,当a≤1,x≥0时,f(x)≥0成立.
总之,纵观近年来全国各地高考试题,利用高等数学解决高考数学问题的题型屡见不鲜,当然此类问题也可用高中数学方法求解,但一般过程繁琐或技巧性较强,许多学生大都见而恐之.若学生能掌握一些有关高等数学的知识和方法,去解决这些问题,往往事半功倍.比如在学习导数知识后,笔者向学生讲解了洛必达法则,并介绍了洛必达法则适用的条件和具体用法,并通过一些简单的练习后,绝大部分学生都能利用洛必达法则处理部分简单繁琐的数学问题.
(收稿日期:2016-10-18)