焦点三角形背景下的圆锥曲线定义解题探析

陈小霞

一、三角形的形状、周长和面积

例1（1）设F1，F2是双曲线x2-y224=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1=4PF2，则△PF1F2的面积=.

（2）已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是.

解（1）双曲线的实轴长为2，焦距为F1F2=2×5=10.据题意和双曲线的定义知，2=PF1-PF2=43PF2-PF2=13PF2，所以PF2=6，PF1=8.

所以PF21+PF22=F1F22，所以PF1⊥PF2，

所以S△PF1F2=12PF1·PF2=12×6×8=24.

（2）根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即43.

题后反思借助定义，利用已知条件，明确三角形的三边长，确定形状，从而计算出面积.这一类问题往往都是通过定义和三角形中正弦或余弦定理解出三角形.

二、离心率问题

例2（1）F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为.

图1（2）如图1，双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1 、F2，过其右焦点F2的直线交双曲线于A、B两点，连AF1，BF1，△F1AB是以∠F1AB為直角的等腰三角形，求双曲线的离心率.解（1）如图2，由双曲线定义得，BF1-BF2=AF2-AF1=2a，因为△ABF2是正三角形，所以BF2=AF2=AB，因此AF1=2a，AF2=4a，且∠F1AF2=120°，在△F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×12=28a2，所以e=7.

答案：7

图2（2）设AF1=m，AF2=x，ΔF1AB是等腰直角三角形，

∴BF2=m-x，BF1=2m.

在ΔAF1F2和ΔBF1F2中，由双曲线的第一定义可得，AF1-AF2=2a，即m-x=2a，①

BF1-BF2=2a，即2m-m-x=2a②

由①②可得m=22a，x=22-1a

又在RtΔAF1F2中，4c2=F1F22=AF21+AF22=m2+x2=45-22a2，

即2c=25-22a

答案：e=5-22

题后反思处理本题的关键是如何将题中的图形信息反映出来.充分注意两焦点，联系双曲线的第一定义，结合解三角形的知识，将问题得到处理.

三、定值问题

例3椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点P，两个焦点F1（-c，0），F2（c，0）， ΔF1PF2的内切圆记为⊙M，求证：点P到⊙M的切线长为定值.

证明设⊙M与△PF1F2的切点为A、B、C，因⊙M是△PF1F2的内切圆，所以|F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F1C|+|F2C|=2c，∴ |F1A|+|F2B|=2c，由椭圆第一定义知|PF1|+|PF2|=2a，∴|PA|+|F1A|+|PB|+|F2B|=2a， ∴2|PA|=2a-2c即|PA|=a-c为定值.证毕.

题后反思圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础， 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题，若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简，捷足先登的解题效果.

四、位置关系问题

例4以椭圆上任意一点与焦点所连结的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是.

解析设线段是PF1，O1是线段PF1的中点，连结O1O，PF2，其中O是椭圆的中心，F2是椭圆的另一个焦点，则在△PF1F2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是OO1=12PF2=12（2a-PF1）=a-12PF1=R-r.

答案：内切

五、动点轨迹问题

例5一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.

解两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1，O2（3，0），r2=9，设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R， |MO2| =9-R，所以|MO1|+|MO2|=10，由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.

∴b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆心的轨迹方程为x225+y216=1.

题后反思本题的关键是要借助于动圆的半径反映出两圆的位置关系，再依托椭圆的定义得到动圆圆心的轨迹是椭圆.

六、方程问题

例6如图3，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，∠F1PF2=π3，且△PF1F2的面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程.图3

解设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F1（-c，0），F2（c，0），P（x0，y0）.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosπ3=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|·|PF2|，即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|，又因为S△PF1F2=23，所以12|PF1|·|PF2|sinπ3=23，所以|PF1|·|PF2|=8，所以4c2=4a2+8即b2=2，又因为e=ca=2，所以a2=23.故所求双曲线方程为3x22-y22=1.

题后反思如果在△PF1F2中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题，表达式的变形过程中使用双曲线的定义，根据条件建立基本量的方程，从而求出双曲线的方程.

七、最值、范围问题

例7已知点F是椭圆x225+y29 =1的右焦点，M是这椭圆上的动点，A（2，2）是一个定点，求|MA|+|MF|的最小值.

解设F′为椭圆的左焦点，则|MF|+|MF′|=2a=10.要使|MA|+|MF|最小，

由A（2，2）可知，点A在椭圆的内部，故有|MA|+|MF|=|MA|+（2a-|MF′|）=2a-（|MF′|-|MA|）.

∵|MF′|-|MA|

≤|AF′|=（2+4）2+（2-0）2=210，

即|MF′|-|MA|的最大值为210，

∴|MA|+|MF|的最小值为2a-210=10-210

题后反思本题的关键是利用定义将不可求最值的表达式进行转化，类似于这种距离之和最小（或两距离之差最大）的问题，常利用“两点间以直线为最短”或三角形中“两边之和大于第三边（两边之差小于第三边）的极值等.

圆锥曲线的定义是圆锥曲线一章的根本，在学习过程中必须深刻理解其内涵，不断总结和积累应用圆锥曲线的定义解题的经验，以提高灵活应用定义解题的能力.

（收稿日期：2016-10-24）