说谎者悖论中的T-模式

赵 震

(安徽大学 哲学系，合肥 230601)

说谎者悖论中的T-模式

赵 震

(安徽大学 哲学系，合肥 230601)

T-模式是塔斯基提出的与真有关的一个重要模式，即“x 是真的当且仅当 p”，其中 p 是一个句子，x 是这个句子的名字。因其非常符合“真”这个词的直观而成为现代逻辑真理论的一条重要规则。说谎者悖论的产生都与T-模式或其等价式有关。所以研究说谎者悖论必须研究T-模式。T-模式包含两个关键词：“当且仅当”和“真”。文章讨论了这两个关键词在说谎者悖论及其解悖方案中的理解，以及与T-模式有关的另一条规则“(IP)规则”。

说谎者悖论；T-模式；(IP)规则；真理论

说谎者悖论是一类很有意思的悖论，其产生原因尚不能精确确定，但是似乎都与T-模式有关。T-模式是说谎者悖论产生的重要原因，本文主要讨论说谎者悖论及其解决方案中的T-模式。

一、说谎者悖论的例子

首先看一些说谎者悖论的例子。说谎者悖论的例子有很多，这里介绍几个典型代表：

例(1) 不是真的。

(例1)

这个句子的真值是什么？如果它是真的，根据(1)自身它是假的；如果它不是真的，根据(1)它是真的。用逻辑的方法可以把这个推理描述如下：

1.(1) = (1)不是真的。 (已知)

2.(1)不是真的。 (假设)

3.(1)不是真的不是真的。 (1,2,等值置换)

4.并非 (1) 不是真的。 (3,(T)*(T)是指T-模式，下同。,等值置换)

5.(1) 不是真的并且并非 (1) 不是真的。

6.(1) 是真的。 (2-5,归谬法)

7.(1) 不是真的是真的。 (1,6,等值置换)

8.(1) 不是真的。 (7,(T) )

9.(1) 是真的并且 (1) 不是真的。

上面这个直接带有自指的说谎者悖论被称为“简单的说谎者”，这个例子还有一些变体，它们没有直接的自指，但是有间接的自指，比如下面这个例子：

A:B不是真的。

B：A是真的。

(例2)

使用相似的推理可以得出：如果A是真的，那么B不是真的，因而A不是真的；如果A不是真的，那么B不是真的不是真的，所以B是真的，因此A是真的。所以A是真的当且仅当A不是真的。同样的推理也可以得到B是真的当且仅当B不是真的。

上面的几个例子的一个典型特点就是都包含自指和否定，这似乎说明说谎者悖论都与这二者有关，但是下面的库里 (H.Curry) 悖论就没有否定，至少表面上没有否定。

令K是后面的这个句子的缩写：

True(〈K〉)→地球是平的。

(例3)

1.K↔(True(〈K〉)→⊥) (K 的构造)

2.True(〈K〉)↔(True(〈K〉)→⊥)

(1,(T),等值置换)

3.True(〈K〉)→(True(〈K〉)→⊥)

(2,↔-)

4.(True(〈K〉)(True(〈K〉))→⊥

(3,一阶逻辑定理)

5.True(〈K〉)→⊥

6.(True(〈K〉)→⊥)→True(〈K〉)

(2,↔-)

7.True(〈K〉) (5,6,MP)

8.⊥ (5,7,MP)

从上面的例子看，虽然不是所有的说谎者悖论都包含否定(至少表面上不包含否定)，但是它们都包含自指。这让人感觉似乎说谎者悖论必须有自指。但是，并非如此，下面这个雅布罗悖论的例子将表明可以不使用自指也能构造出说谎者悖论。

设想一个无穷的句子序列 (S1),(S2),(S3)……每一个句子说的都是接下来的句子都是不真的：

(S1) 任给k>1,Sk是不真的

(S2) 任给k>2,Sk是不真的

⋮

假设有Sn是真的，如果Sn说的是真的，那么任给k>n，Sk是不真的。因此(a)Sn+1是不真的，并且(b)任给m>k+1，Sm是不真的。根据(b)，Sn+1所说的恰是这种情况，而这与(a)相矛盾。所以，任给n，序列中的句子Sn是不真的。但是这又恰说明任给n，Sn是真的。因此，对于任何n，Sn是真的当且仅当 Sn不是真的。很明显，这个例子里并没有自指，但是，依然产生了与“真”有关的悖论。这个悖论表明我们可以不需要自指而仅需要非良基性就能构造出悖论。

从上面的例子中可以看出，说谎者悖论的产生往往伴随着自指、否定、T-模式，以及一阶逻辑[1]。但是，其中自指不是语义悖论产生的必要条件，因为有不含自指的雅布罗悖论；否定也不是语义悖论产生的必要条件，因为有不含否定(至少表面上没有否定)的库里悖论；一阶逻辑也不是语义悖论产生的必要条件，因为严格地说只是某些相关推理规则才会在悖论的推导过程中起作用，而这些推理规则并不一定只属于一阶逻辑，在别的逻辑中也可能有相同的有效推理[2]。而且，即使换了规则也还有可能用别的规则推出悖论。而T-模式(或者它的等价式)则是所有语义悖论产生的必要条件，所有说谎者悖论的构造都需要用到T-模式(或其等价式)。下面讨论T-模式。

二、T-模式中的“当且仅当”

T-模式这个词最初是塔尔斯基在其著名的论文TheSemanticConceptandtheFoundationsofSemantics中提出的:“……我们形成这个句子的名字，并且用另一个字母，比如说‘x’，代替它。现在我们问‘x 是真的’和 ‘p’ 这两个句子之间的逻辑关系是什么。很明显，从我们有关真的基本概念的观点看，这两个句子是等价的。换句话说，下面的等价式是成立的：

(T) x 是真的当且仅当 P

我们把任何这样的等价式(p 被‘真’这个词所指称的语言中任何句子所代替，x 被这个句子的名字所替代)都称作‘(T)型等价式’。”[3]这里，塔尔斯基并没有直接提出T-模式这个词，但是接下来他又指出：“应该强调的是，表达式(T)自身(它并不是一个句子，而只是一个句子模式)以及(T)型的任何特例都不能被当做真的定义。我们只能说用具体的句子替代P、用这个句子的名字替代 x 所得到的每一个(T)型等价式都只被当做真的一个部分定义，这解释了这一个具体句子的真之所在。在某种意义上，普遍定义需要所有这些部分定义的逻辑合取。”[3]从这里可以看出，T-模式本身并不是一个句子，而是类似于逻辑中公理模式的东西。

T-模式并不是对象语言中的模式，而是元语言中的模式，P是句子P在元语言中对应的翻译，x 是P在元语言中的名字。T-模式的例子比如著名的“‘雪是白的’是真的当且仅当雪是白的”。所有具有T-模式这种模式的句子被称作对象语言在元语言中的 T-双值条件句 (T-biconditionals)，简称T-双值条件句。

上面是用自然语言表达的T-模式，在形式语言中可以有更严格的表述，比如通常用哥德尔编码来表示一个句子的名字，用T表示真谓词，这样T-模式就可以表示为：

当然这只是T-模式的形式表述的一种方式，而不是唯一方式。其他的表述方式可能与这种方式不一样，但是它们的本质都是一样的，即“任给句子 P，x 是真的 iff.P(其中，x 是句子 P 的名字)”这个思想。用塔尔斯基自己的话说就是：“当我们可以断定或拒绝‘雪是白的’的时候，必须同时断定或拒绝‘“雪是白的”是真的’。”[3]

其实，在塔尔斯基那里，这个T-模式是不能被满足的，否则可以构造出说谎者悖论。为此要区分元语言和对象语言，并且把T-模式分割成可数无穷多个的Tn-模式，而且真正被满足的是这可数无穷个Tn-模式。关于T-模式(或者Tn-模式)的代入例中“当且仅当”有两类不同的理解[4]，一类是语义上的理解，一类是语形上的理解。语义的理解又有两种理解：

(1)任给Ln中句子φ，σn+1(Tn(t))=1 iffσn(t)=「φ⎤并且σn+1φ,其中「φ⎤是Lm(m

(2)任给Ln中句子φ，σn+1) iff.σnφ。其中σn+1是元语言Ln+1的模型，σn是对象语言Ln的模型。这也就是说，“φ是真n的”在Ln+1中是真的当且仅当有一个Ln的模型σn使得φ在σn中解释为真。这里需要两个模型，一个是元语言的模型σn+1，一个是对象语言的模型σn。

语形的理解也可以有两种，为此先假定一个元语言Ln+1的理论S:

塔尔斯基本人对这里的“当且仅当”的理解是语形意义上的第(2′)种理解。

三、T-模式中的“真”

关于T-模式中的“T”也有不同的意义和理解方式，下面将一一介绍。

“真”这个词在自然语言(以英语为例)中有两种用法，一是作为谓词，比如“Whatyousaidistrue”；一是作为算子，比如 “Itistruethat…”后一种用法类似于“可能”或“必然”等模态词。通常都把“可能”“必然”等词处理为算子，并进而发展出很多理论来。“真”这个词显然也是可以这样处理的，而且由此可以得到与算子真有关的T*-模式如下：

T*(φ) ↔φ

这里的算子T*其实就相当于一个同一算子，在这种情况下的T*-模式不会导致说谎者悖论，因为算子只能应用于句子(而且是先在的句子)而不能应用于词，从而既可以避免自指的发生又可以避免非良基的情况出现。一般而言，说谎者悖论中用到的T-模式中的 “T” 是谓词意义上的真，而不是算子意义上的真*真谓词和真算子的区分在以往的讨论中也有过出现，比如费弗曼 (S.Feferman) 在Toward Useful Type-Free Theories. I这篇文章中就提到过。。

雅布罗认为(谓词意义上的)真这个词有强和弱两层意思[5]。弱的真观念是指句子φ和“φ是真的”在所有情况下都有相同的值。即使当“φ是真的”有既不真也不假的值时φ也是既不真也不假，或者当“φ是真的”是既真又假时φ也是既真又假。反过来，φ 取任何值“φ是真的”也取相同的值。强的真观念是指“φ是真的”和φ之间的取值并不是完全一样的，比如，当φ的取值是既不真也不假的时候“φ是真的”可能是取值为假。一般来说，弱的真观念比强的真观念包含更多的信息，并且当语言的逻辑资源足够丰富的时候，弱的真观念可以定义强的真观念。说谎者悖论中用到的T-模式中的“T”一般是弱的真观念意义上的真。

此外，“真”这个词还有绝对意义和相对意义之分。绝对意义上的真是指相对于现实世界或者反映现实世界的模型来说的真；而相对意义上的真是指相对于通常意义上的模型是真的，即“模型中的真”。与绝对意义上的真相对的现实世界(或者反映现实世界的模型)的定义域不是一个集合，而是一个真类；与相对意义上的真相对的模型的定义域是一个集合。这里所说的T-模式中的“T”就其本意来说是绝对意义上的“真”，但是因为这种意义上的“真”会导致悖论，所以作为一种解悖方案中的T-模式中的“真”却是相对意义上的真，即相对于某个模型类来说的T-模式。说谎者悖论中的 T-模式中的“T”一般来说有绝对意义上的“真”也有相对意义上的“真”。

需要强调的是，相对于模型的真和在这个模型中语义值为 t并不是必然等同的。虽然在大多数逻辑中都是把一个句子在这个模型中的语义值为 t定义为这个句子在这个模型中为真，但是也有例外，比如普瑞斯特 (Priest) 的方案中不仅语义值为 t的句子是真的，而且有第三值(p)的句子也被当做是真的，即t和p都是LP中的指定值。

一般来说，构造说谎者悖论的时候用到的T-模式往往是谓词意义上的、强的、绝对或相对意义上的“真”[6]。而各种解悖方案中的T-模式中的“真”则是上面说的谓词意义上的、弱的、相对意义上的“真”。

四、T-模式与(IP)规则

与T-模式有关的另一个重要概念是(IP)规则，即：如果句子C和D几乎一样，只是在一个句子中出现句子“A”的地方另一个句子中出现“T(「A⎤)”，那么可以从C推出D并且从D推出C。

在经典逻辑中IP规则与T-模式是等价的，但是同时它们也是有问题的。最大的问题就是可能导致悖论，比如说谎者悖论。T-模式一经提出就被当做是体现了“真”的某种本质。既然T-模式如此重要，但又可能导致悖论，所以绝大多数解悖方案所要做的一个很重要的工作就是如何在尽量多地保留T-模式的本质的前提下解决悖论。当然这只是“大多数”，也有“少数”解悖方案是直接修改或间接修改T-模式。而在解决说谎者悖论的处理过程中，往往为了一些目的或处于某些考虑而不能保证二者始终等价。

在各种解决说谎者悖论的方案中T-模式与(IP)规则往往不能同时成立。在经典的真理论(即塔尔斯基的真理论)中二者都不成立。有的真理论中T-模式不成立但(IP)成立，比如克里普克的理论；在有的真理论中(IP)不成立但T-模式成立，比如普瑞斯特的理论；而在有的理论中二者(在某种意义上)都成立，比如菲尔德 (H.Field) 的理论。菲尔德把包含(IP)和T-模式的真理论称作素朴真理论[7]或经典真理论[8]。

在塔斯基的真理论中，T-模式和(IP)规则都不成立，成立的是无数多个Ti-模式和与之相应的(IP)规则。塔斯基的理论保留了足够多的推理能力，但是却损失了一些表达力，比如不能自己说自己真或不真。在克里普克的极小固定点真理论中，(IP)规则成立，但是T-模式并不成立；其代价是推理能力和表达力都变弱，比如同一律、排中律，以及由之推出的其他一些一阶逻辑定理都不再成立。另外，在其中无法表达排除性否定。普瑞斯特的双面真理论可以使T-模式成立，但是却不能使(IP)规则成立；其代价是推理能力变弱，比如MP规则、矛盾律、爆炸律以及由之推出的其他一阶定理都不再有效；菲尔德的真理论可以使T-模式和(IP)规则同时成立，但是它的T-模式中的“当且仅当”已经不再是由否定和析取定义的等值，而且他的方案有极大的特设性。一个既能使T-模式和(IP)规则同时成立，又能保留足够强的推理能力和表达力的真理论依旧尚未出现。

[1] 赵震.说谎者悖论中的自指与否定[J].重庆理工大学学报(社会科学).2016.30(1):27-30.

[2] 陈晓平.语义悖论、直观悖论和决策悖论——关于悖论的分类和解决[J].重庆理工大学学报(社会科学).2016,30(9):6-13.

[3] TARSKI A.The semantic concept and the foundations of semantics[J].Philosophy and Phenomenological Research,1944,4(3):344-361.

[4] HALBACH V.Tarski hierarchies[J].Erkenntnis,1995,43(3):339-367.

[5] YABLO S.Truth and reflection[J].Journal of Philosophical Logic,1985,14(3):297-349.

[6] 胡义昭.作为真值谈论句的说谎者[J].重庆理工大学学报(社会科学).2016,30(12):13-17.

[7] FIELD H.Saving truth from paradox[M].New York:Oxford University Press,2008:12.

[8] FIELD H.Saving the truth schema from paradox[J].Journal of Philosophical Logic,2002,9(1):6-7.

(责任编辑 张佑法)

The T-Schema in the Liar Paradox

ZHAO Zhen

(Department of Philosophy, Anhui University, Hefei 230601, China)

The T-schema, which is introduced by Tarski, is a very significant rule of modern truth theory. It is that “x is true if and only if p”, where p is a sentence and x is the name of the sentence. The T-schema corresponds very well to the common sense of the word “true”, so it is widely discussed in the study of the Liar paradox and modern truth theory. The liar paradox is related to the T-schema or its equivalent form. There are two key words in the T-schema: “if and only if” and “true”. This paper mainly talks about how to understand the two concepts in the Liar paradox and its solutions. Besides, the relationship between the T-schema and the (IP) rule will also be discussed in this essay.

the liar paradox; T-schema; (IP) rule; truth theory

2017-02-07 基金项目：安徽省高校人文社会科学研究项目“说谎者悖论与形式真理论”(SK2016A0082)；安徽大学博士科研启动经费项目“悖论相关问题研究”(J01001319，子项目代码J10113190101)；安徽大学哲学系“固本强基”资助项目“当代分析哲学家逻辑思想研究”

赵震(1984—)，男，河北沧州人，讲师，博士，研究方向：悖论与真理论。

赵震.说谎者悖论中的T-模式[J].重庆理工大学学报(社会科学)，2017(3):20-24.

format：ZHAO Zhen.The T-Schema in the Liar Paradox[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2017(3):20-24.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2017.03.004

B81

A

1674-8425(2017)03-0020-05