浅谈数列求和的若干方法

吴胜斌

【摘 要】数列求和是从它们的本质特点出发，去寻找最一般的方法，从而得出的结论比较具有针对性。如掌握直接求和法（公式法），错位相减求和法，分组转化求和法，裂项相消求和法等一些简单的特殊数列求和的方法，理解数列求和中蕴含的数学思想，并能利用数列求和解决一些数列问题。

【关键词】直接求和法（公式法）；分组求和法；错位相减求和法；裂项相消求和法

一、直接求和法（公式法）

如果所给数列是等差数列或等比数列， 那么它们的求和问题，可以直接利用等差或等比数列求和公式解决。

（1）等差数列的前n 项和公式：；

（2）等比数列的前n 项和公式：①当q=1 时，；②当q≠1 时，。

例1： 求1，2，3，…，100 这样一个等差数列的和。

解：

二、分组求和法

若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求。一般为{等差+等比}的形式出现时用到分组求和法。

例2 求数列，…的前项和。

分析：此数列的通项公式是，而数列是一个等差数列，数列是一个等比数列，故采用分组求和法求解。

解：.

例3：在数列中，，， n∈N*

（1）证明：数列{}是等比数列；（2）求数列的前n 项和。

（1）證明： 由题设 得

，n∈N* 又，

所以数列{}是首项为1，且公比为4 的等比数列。

（2）解：由（1）可知于是数列的通项公式为，

所以数列的前n 项和

=

=

==

小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和。

三、裂项相消法

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：

1。乘积形式

如：

（1）

（2）

（3）

（4）

2。根式形式

如：

例4：求数列，，，…，，…的前项和

解：∵=

小结：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差。多用于分母为等差数列的相邻k项之积，且分子为常数的分式型数列的求和。

四、错项相消法

如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应之积形成，那么此数列可采用错项相减消法。

例6 求和

解：由原式乘以公比得：

原式与上式相减，得

∴

错位相减法是是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中、中一个是等差数列，一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

总而言之，数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到灵活运用。非等差等比数列的一般数列的求和，可以利用错位相减求和法，分组转化求和法，裂项相消求和法等一些简单的特殊数列求和的方法。数列求和问题，一般说来方法灵活多样，解法往往不止一种，很难说尽求全。本文中所介绍的种种求和方法，主要是给出一些解题的思路和方法，在解题中希望会有所帮助。