利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法

吴胜斌

可以说证明两条线段相等是初中几何证明中比较基本的题目。证明两条线段相等看似简单，但所适用的定理也比较多，要想熟练掌握，其实也不是一件容易的事情，为此，现就从三角形相关知识出发进行探究，仅供同学们参考。

一、利用两三角形面积相等地，等底必等高，等高必等底证明

在三角形中需要证明等底或等高时，可以利用面积相等证明。

[例1] 求证：等腰三角形两腰上的高相等。

证明：如图1，在等腰中，作BD⊥AC于D，CE⊥AB于E

∵，而AB=AC，

∴BD=CE

二、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等

如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。

[例2]如图2，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。

证明：作DA、CE的延长线交于H

∵ABCD是正方形，E是AB的中点

∴AE=BE，∠AEH=∠BEC，∠EBC=∠EAH=90°

∴△AEH≌△BEC（ASA）∴AH=BC，AD=AH

又∵F是BC的中点 ∴Rt△DFC≌Rt△CEB

∴∠DFC=∠CEB ∴∠GCF+∠GFC=∠ECB+∠CEB=90°

∴∠CGF=90 ∴DGH=∠CGF=90°

∴△DGH是Rt△ ∵AD=AH

∴AG==AD

三、利用等腰三角形三线合一证明线段相等

若要证明两条线段在同一直线上并且有共同端点，可以考虑此法。

[例3] 如图3，已知△ABC为Rt△，D为，DEAC于E，DF⊥BC于F。求证：AE=CE，BF=CF

证明：连结CD

∵D为RtABC的斜边AB的中点

AD=CD=BD ∴△ADC与△CDB均为等腰三角形

又∵DE⊥AC，DF⊥BC

∴AE=CE，BF=CF.（等腰三角形底边上的高线平分底边）

四、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等

如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

[例4]如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，角平分线BE与高CD相于F，

求证：CE=CF.

证明：在Rt△DBF与Rt△BCE中

∵∠DBF=∠CBF，∴∠DBF=∠CEF

又∵∠DBF=∠CFE， ∴∠CFE=∠CEF

∴CE=CF（等边对等角）

五、利用三角形内心性质证明线段相等

题中如有多条三角珙内角角平分线，可以考虑是不是能用内心的性质。

[例5] 如图5，已知：△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，∠B、 ∠C的平分线交于H，求证：H到AB、BC、CA的距离相等。

证明： AB=AC，AD是BC边上中线

∴AD平分∠ADC且AD⊥BC，而∠B、∠C的平分線交于H

∴H是△ABC内心，∴所以H到AB、BC、CA的距离相等

六、利用全等三角形的性质证明线段相等

利用全等三角形证明线段相等是比较常用方法。如果两条线段分别在不同三角形中，它们所在三角形看似全等，或者通过简单处理看似全等，可以优先考虑此法。

[例6]如图6，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。

证明 ：∵△ACB和△BCE都是等边三角形

∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°

∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°

∠BCD=∠BCE+∠DCE=120°

∴AC=CD，CE=CB

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE=DB

总之：证明线段相等的方法还有很多，如利用平行四边形的性质、三角形中位线，中垂线等等，方法众多，不一一列举，教师应把握住几何证明题的关键、寻找有价值的解题方法，因势利导、另辟蹊径，从而提高学生的数学能力，为学生的成长奠定基础。