如此等效错在哪里?

马继云

(北京大学附属中学,北京 100190)

如此等效错在哪里?

马继云

(北京大学附属中学,北京 100190)

“同性电荷相斥,异性电荷相吸”一直是我们在讲解电荷间相互作用时的一个结论性总结,它有没有使用的局限性呢?本文根据中学阶段一道常见的带电导体球间的相互作用为例,通过电荷等效分析了不同的材质球间的相互作用问题,发现该结论实际是有使用条件的,从而进一步体现出物理规律的使用范围和使用条件的严谨性,不能随意地等效和扩展类推．

导体球； 感应电荷； 镜像电荷； 库仑定律

在静电场部分,考查库仑定律的题目中时常有这类问题出现,两个带电导体球位置较近时讨论它们间的库仑力,目的是考查库仑定律的适用条件以及等效思想的应用．可是实际上这类题目在中学阶段的解答是有问题的,或是需要一定的限制条件的．下面以一道题目为例说明这类问题分析时到底错在哪里．

有一个带正电的点电荷与一个带等电量的导体球,它们相距较近且位置保持不变,设它们带同种电荷时它们间的静电力为F1,它们带异种电荷(电荷量大小不变)时它们间的静电力为F2,则F1和F2大小关系是

(A)F1=F2. (B)F1>F2.

(C)F1

该题答案为选项(C).分析认为由于点电荷与导体球靠得较近,所以导体球不可以直接当成点电荷处理,又考虑到电荷间同性相斥、异性相吸的作用规律,所以导体球带同性电荷时,等效电荷间的距离d′要大于球心间距d,如图1所示;同理,导体球带异性电荷时,等效电荷间的距离d′要小于球心间距d,如图2所示．

图1 导体球与点电荷带同种电荷

图2 导体球与点电荷带异种电荷

该题的分析乍一看很有道理,我们知道均匀带电球可以等效为电荷量集中在球心的点电荷,由于题目中的带电球是导体球,因此当有其他电荷存在时导体球表面的电荷不再是均匀分布,那么等效电荷要偏离球心是理所当然的事情．可是其中忽略了一个重要问题,那就是导体球在电场中的静电感应现象,也就是说上面这个问题实际上并不是刚才分析的那么简单,还应该考虑感应电荷的影响．下面,我们将从简单到复杂逐一分析这个问题．

首先,假设有一个带正电的点电荷Q和一个半径为R的导体球,点电荷到导体球球心距离为r.

问题1:如果将导体球接地,导体球与点电荷间的静电力F的表达式是怎样的呢?

由于导体球处于点电荷Q的静电场中,所以会在导体球表面靠近点电荷的一侧出现异性感应电荷,设电荷量为q．由于导体球被接地,则导体球球面上电势为0,利用边界条件(导体球的表面电势为0)和镜像法,[1]可以知道在导体球表面的感应电荷可以等效为一个点电荷(称为镜像电荷),其位置到导体球球心的距离d为R2r,镜像电荷是电荷量q为RrQ的负电荷,如图3所示.

图3 点电荷Q电场中导体球(接地)的电荷分布

点电荷Q处于镜像电荷的电场中,根据点电荷间库仑力公式,[2]

点电荷Q与导体球间的静电力为

F=-kQq(r-b)2=-kQ2Rr(r2-R2)2.

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(1)

问题2:如果该导体球带电荷量为Q0(Q0>0),且不接地,那么点电荷Q受到的电场力F又该如何呢?

此时导体球上被点电荷感应出的负电荷q仍然存在,因此导体球上的正电荷包括Q0和与感应负电荷相对应的正感应电荷q两部分．由于导体球是等势体,这些正电荷会均匀分布在球体表面，如图4所示.

图4 点电荷Q电场中带电荷量为Q0的导体球电荷分布情况

由于正电荷均匀分布在表面,所以正电荷可以等效为位于球心,带电荷量为Q0+q的点电荷,而负感应电荷可以等效为镜像电荷-q距离导体球心d为R2r,镜像电荷电荷量-q为-RrQ,点电荷Q就处于这两个点电荷激发的叠加场中．如图5所示.

图5 导体球电荷等效分布

设电荷间斥力为正,则由库仑定律得,点电荷Q受到的电场力为

F=kQ(Q0+q)r2-kQq(r-d)2.

(2)

代入d与q得

F=kQQ0r2-kQ2R3(2r2-R2)r3(r2-R2)2.

(3)

该式第1项F1为斥力,第2项F2为引力,如果我们设点电荷Q=nQ0,而点电荷到球心的距离r=mR, 其中m、n取任意值,则(3)式中斥力项与引力项的比值为

代入不同数值可以得到表1.

表1 m、n取不同值是两者作用力的引力项与斥力项数值之比

表1中小于1的数据说明斥力小于引力,点电荷与导体球间作用力表现为引力,而大于1的数据表明斥力大于引力,点电荷与导体球间作用力表现为斥力．这说明点电荷与导体球间表现出的静电作用力并不再是异性电荷吸引,同性电荷相互排斥的作用规律,具体情况还要取决于两者的距离和它们的电荷量关系．这是因为当r→R时,(3)式中第二项吸引力的数值大于第一项,因此即使Q与Q0同号,只要Q距离导体球足够近,它受到导体球的作用力就可能为引力．这是由于静电感应作用,虽然导体球净电荷量为正电,但在导体球靠近点电荷的一侧可能出现异号电荷．当两项相等时两者间作用力为0,即

kQQ0r2=kQ2R3(2r2-R2)r3(r2-R2)2，

整理得

Q0Q=R3(2r2-R2)r(r2-R2)2.

通过计算得到表2.

表2 点电荷Q到球心距离取不同值时库仑作用力为0时两者电荷量关系

导体球与点电荷间的作用力为0的点是引力与斥力转变的分界点,而这个位置是与两个带电体的电荷量关系和距离关系决定的．

前面题目的分析中把导体球表面电荷的不均匀分布认为是点电荷对导体球表面电荷的库仑作用造成的,随着点电荷的靠近,这种等效得到的结论是作用力仅仅会由于等效距离变化造成大小变化,不会发生方向的变化(即引力与斥力的转变);但实际上这种电荷的不均匀分布是导体球上均匀分布的原电荷与不均匀分布的感应电荷叠加后的效果,因此它们之间的电场力应该是这两种电荷作用的合力,它可能最后表现为引力也可能表现为斥力,甚至在某一位置力的作用为0．

除此之外,我们还在有些学习资料上看到用两个导体球带同性等量电荷或是异性电荷时作用力的大小比较,[3]分析过程与开始题目的分析方法类似,结论也是有条件的．因为两个带电导体球间的相互作用更复杂,需要进行无限次镜像电荷等效进行讨论．只有在两球体半径相同,并带等量同性电荷时作用力将恒为斥力,等量异号电荷时作用力将恒为引力,否则,两球之间的作用力将会出现引力,零,斥力的复杂变化过程．[4]

因此,等效法的应用虽然容易理解,但是不可以任意推广,一定要清楚等效背后的物理实质，以免推广出错误结论．教师在日常教学中也应该对这些问题严加推敲,对于有条件性的结论应该进行严谨说明和论证,避免学生形成一些有局限性的认识和结论．

1 郭鸿硕.电动力学(第3版)[M].北京：高等教育出版社，2008: 53-56.

2 物理选修3-1[M].北京：人民教育出版社，2010: 5-7.

3 李国宇，李奕斌等.课堂导学与针对训练(中册)[M].北京：中国言实出版社，2011：5.

4 欧红叶，胡先权.两个带电导体球之间相互作用力的计算[J].重庆师范学院学报(自然科学版)，2003(2)：6.

2016-10-05)